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dimostrare csc^2(x)=(sec^2(x))/(tan^2(x))

Soluzione

dimostrare

csc^{2} (x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Vero

Fasi della soluzione

csc^{2} (x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Manipolando il lato destro

\frac{sec ^{2} ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Esprimere con sen e cos

\frac{sec ^{2} ( x )}{tan ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{tan ^{2} ( x )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

Semplifica

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}} : \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} = \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{c o s ^{2} ( x )}}

Dividi le frazioni:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Affinare

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}

Cancella il fattore comune:

cos^{2} (x)

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

Semplificare

\frac{1}{( \frac{1}{c s c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2} = \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

(\frac{1}{csc ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{csc ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c s c ^{2} ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ^{2} ( x )}{1}

Applicare la regola

\frac{a}{1} = a

= csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

csc^{2} (x)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

sin (x) cos (x) = \frac{1}{tan ( x ) + cot ( x )}

1 = sec^{2} (θ) - tan^{2} (θ)

\frac{1}{sin ( θ ) cot ( θ )} = \frac{1}{cos ( θ )}

tan^{8} (x) = tan^{6} (x) sec^{2} (x) - tan^{6} (x)

2 (sin (2 y) cos (2 y)) = sin (4 y)