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dimostrare cot(2θ)=((cot^2(θ)-1))/(2cot(θ))

Soluzione

dimostrare

cot (2 θ) = \frac{( cot ^{2} ( θ ) - 1 )}{2 cot ( θ )}

Vero

Fasi della soluzione

cot (2 θ) = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

Manipolando il lato destro

\frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

Esprimere con sen e cos

\frac{- 1 + cot ^{2} ( θ )}{2 cot ( θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Semplifica

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{2 \cdot \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Moltiplicare

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} : \frac{2 cos ( θ )}{sin ( θ )}

2 \cdot \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( θ ) \cdot 2}{sin ( θ )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}{\frac{2 c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}{\frac{2 c o s ( θ )}{s i n ( θ )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} ) sin ( θ )}{cos ( θ ) \cdot 2}

Unisci

- 1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )} sin ( θ )}{2 cos ( θ )}

Moltiplicare

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin (θ) : \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} sin (θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ ) ) sin ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

Cancella il fattore comune:

sin (θ)

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( θ ) + c o s ^{2} ( θ )}{s i n ( θ )}}{2 cos ( θ )}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ ) \cdot 2}

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{2 sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{2 cos ( θ ) sin ( θ )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{sin ( 2 θ )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

= \frac{cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (2 θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

cos^{2} (θ) = (\frac{1}{sec ^{2} ( θ )})

\frac{1}{tan ( θ )} = cot (θ)

tan (2 x) cos (2 x) = sin (2 x)

tan (x) = 2 sin (x)

\frac{1 - sin ^{4} ( a )}{cos ^{2} ( a )} = 2 - cos^{2} (a)