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cos(2θ)=cos^2(θ)-1/2

Soluzione

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

Soluzione

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gradi

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 22 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

Sottrarre

cos^{2} (θ) - \frac{1}{2}

da entrambi i lati

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2} = 0

Semplifica

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2} : \frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2}

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) + \frac{1}{2}

Converti l'elemento in frazione:

cos (2 θ) = \frac{cos ( 2 θ ) 2}{2}, cos^{2} (θ) = \frac{cos ^{2} ( θ ) 2}{2}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2}{2} - \frac{cos ^{2} ( θ ) \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( 2 θ ) \cdot 2 - cos ^{2} ( θ ) \cdot 2 + 1}{2}

\frac{2 cos ( 2 θ ) - 2 cos ^{2} ( θ ) + 1}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ) + 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos^{2} (θ)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

cos^{2} (x) = cos (2 x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Semplificare

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ)) : 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 + 2 cos (2 θ) - 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Espandi

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ)) : - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

- 2 (cos (2 θ) + sin^{2} (θ))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = cos (2 θ), c = sin^{2} (θ)

= - 2 cos (2 θ) + (- 2) sin^{2} (θ)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

= 1 + 2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ)

Aggiungi elementi simili:

2 cos (2 θ) - 2 cos (2 θ) = 0

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin^{2} (θ)

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

Risolvi per sostituzione

1 - 2 sin^{2} (θ) = 0

Sia:

sin (θ) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - 2 u^{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Semplificare

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Esempi popolari

arccos(cos((7pi)/6))

arccos (cos (\frac{7 π}{6}))

cos(60)

cos (6 0^{\circ})

sin^2(2x)=1

sin^{2} (2 x) = 1

tan(300)

tan (30 0^{\circ})

arctan(-240/180)

arctan (- \frac{240}{180})