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arcsin(x)-arccos(x)=arcsin(1/2)

Lösung

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

Lösung

x = \frac{3}{2}

Schritte zur Lösung

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

a = b \Rightarrow sin (a) = sin (b)

sin (arcsin (x) - arccos (x)) = sin (arcsin (\frac{1}{2}))

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

sin (arcsin (x)) cos (arccos (x)) - cos (arcsin (x)) sin (arccos (x)) = sin (arcsin (\frac{1}{2}))

Verwende die folgende Identität:

sin (arcsin (x)) = x

Verwende die folgende Identität:

cos (arccos (x)) = x

Verwende die folgende Identität:

cos (arcsin (x)) = 1 - x^{2}

Verwende die folgende Identität:

sin (arccos (x)) = 1 - x^{2}

xx - 1 - x^{2} 1 - x^{2} = \frac{1}{2}

Löse

xx - 1 - x^{2} 1 - x^{2} = \frac{1}{2} : x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

xx - 1 - x^{2} 1 - x^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

xx \cdot 2 - 1 - x^{2} 1 - x^{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2

Vereinfache

2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})^{2} = 1

Schreibe

2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})^{2}

um:

4 x^{2} - 2

2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})^{2}

(1 - x^{2})^{2} = 1 - x^{2}

(1 - x^{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - x^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - x^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - x^{2}

= 2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})

Schreibe

2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})

um:

4 x^{2} - 2

2 x^{2} - 2 (1 - x^{2})

Multipliziere aus

- 2 (1 - x^{2}) : - 2 + 2 x^{2}

- 2 (1 - x^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2, b = 1, c = x^{2}

= - 2 \cdot 1 - (- 2) x^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 + 2 x^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 x^{2}

= 2 x^{2} - 2 + 2 x^{2}

Vereinfache

2 x^{2} - 2 + 2 x^{2} : 4 x^{2} - 2

2 x^{2} - 2 + 2 x^{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 x^{2} + 2 x^{2} - 2

Addiere gleiche Elemente:

2 x^{2} + 2 x^{2} = 4 x^{2}

= 4 x^{2} - 2

= 4 x^{2} - 2

= 4 x^{2} - 2

4 x^{2} - 2 = 1

Löse

4 x^{2} - 2 = 1 : x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

4 x^{2} - 2 = 1

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

4 x^{2} - 2 = 1

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

4 x^{2} - 2 + 2 = 1 + 2

Vereinfache

4 x^{2} = 3

4 x^{2} = 3

Teile beide Seiten durch

4

4 x^{2} = 3

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 x ^{2}}{4} = \frac{3}{4}

Vereinfache

x^{2} = \frac{3}{4}

x^{2} = \frac{3}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

x = \frac{3}{4}, x = - \frac{3}{4}

\frac{3}{4} = \frac{3}{2}

\frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{3}{2}

- \frac{3}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{3}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{3}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

Überprüfe die Lösungen:

x = \frac{3}{2}

Wahr

, x = - \frac{3}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

xx - 1 - x^{2} 1 - x^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

x = \frac{3}{2} :

Wahr

(\frac{3}{2}) (\frac{3}{2}) - 1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2}) (\frac{3}{2}) - 1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{3}{2}) (\frac{3}{2}) - 1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - 1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2}

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 3}{2 \cdot 2}

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4}

1 - (\frac{3}{2})^{2} 1 - (\frac{3}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a a = a

- (\frac{3}{2})^{2} + 1 - (\frac{3}{2})^{2} + 1 = 1 - (\frac{3}{2})^{2}

= 1 - (\frac{3}{2})^{2}

(\frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}

(\frac{3}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{4}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Setze ein

x = - \frac{3}{2} :

Wahr

(- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - 1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2}

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{3 3}{2 \cdot 2}

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3}{4}

1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2} = \frac{1}{4}

1 - (- \frac{3}{2})^{2} 1 - (- \frac{3}{2})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a a = a

- (- \frac{3}{2})^{2} + 1 - (- \frac{3}{2})^{2} + 1 = 1 - (- \frac{3}{2})^{2}

= 1 - (- \frac{3}{2})^{2}

(- \frac{3}{2})^{2} = \frac{3}{4}

(- \frac{3}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{3}{2})^{2} = (\frac{3}{2})^{2}

= (\frac{3}{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{2 ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{3}{4}

= 1 - \frac{3}{4}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 4}{4}

= \frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 - 3}{4}

1 \cdot 4 - 3 = 1

1 \cdot 4 - 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= 4 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= 1

= \frac{1}{4}

= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 1}{4}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Die Lösungen sind

x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

x = \frac{3}{2}, x = - \frac{3}{2}

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{3}{2} :

Wahr

\frac{3}{2}

Setze ein

n = 1

\frac{3}{2}

Setze

x = \frac{3}{2}

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

ein, um zu lösen

arcsin (\frac{3}{2}) - arccos (\frac{3}{2}) = arcsin (\frac{1}{2})

Fasse zusammen

0.52359 \dots = 0.52359 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- \frac{3}{2} :

Falsch

- \frac{3}{2}

Setze ein

n = 1

- \frac{3}{2}

Setze

x = - \frac{3}{2}

arcsin (x) - arccos (x) = arcsin (\frac{1}{2})

ein, um zu lösen

arcsin (- \frac{3}{2}) - arccos (- \frac{3}{2}) = arcsin (\frac{1}{2})

Fasse zusammen

- 3.66519 \dots = 0.52359 \dots

\Rightarrow Falsch

x = \frac{3}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(x)-cos(x)=sin^2(x)

cos^{2} (x) - cos (x) = sin^{2} (x)

0=sec^2(x)

0 = sec^{2} (x)

2+2cos(θ)=6cos(θ)

2 + 2 cos (θ) = 6 cos (θ)

3sin^2(x)+sin(x)-4=0

3 sin^{2} (x) + sin (x) - 4 = 0

2sin(x)+5cos(x)=4

2 sin (x) + 5 cos (x) = 4