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cos(4y)=2cos(2y)-1

Soluzione

cos (4 y) = 2 cos (2 y) - 1

Soluzione

y = πn, y = \frac{π}{4} + πn, y = \frac{3 π}{4} + πn

Gradi

y = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, y = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, y = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (4 y) = 2 cos (2 y) - 1

Sottrarre

2 cos (2 y) - 1

da entrambi i lati

cos (4 y) - 2 cos (2 y) + 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + cos (4 y) - 2 cos (2 y)

cos (4 y) = 2 cos^{2} (2 y) - 1

cos (4 y)

Riscrivi come

= cos (2 \cdot 2 y)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 y) = 2 cos^{2} (y) - 1

cos (2 \cdot 2 y) = 2 cos^{2} (2 y) - 1

= 2 cos^{2} (2 y) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (2 y) - 1 - 2 cos (2 y)

Semplificare

1 + 2 cos^{2} (2 y) - 1 - 2 cos (2 y) : 2 cos^{2} (2 y) - 2 cos (2 y)

1 + 2 cos^{2} (2 y) - 1 - 2 cos (2 y)

Raggruppa termini simili

= 2 cos^{2} (2 y) - 2 cos (2 y) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (2 y) - 2 cos (2 y)

= 2 cos^{2} (2 y) - 2 cos (2 y)

- 2 cos (2 y) + 2 cos^{2} (2 y) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 cos (2 y) + 2 cos^{2} (2 y) = 0

Sia:

cos (2 y) = u

- 2 u + 2 u^{2} = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0 : u = 1, u = 0

- 2 u + 2 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 2 u = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - 2 u = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a,

assumendo

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 1, u = 0

Sostituire indietro

u = cos (2 y)

cos (2 y) = 1, cos (2 y) = 0

cos (2 y) = 1, cos (2 y) = 0

cos (2 y) = 1 : y = πn

cos (2 y) = 1

Soluzioni generali per

cos (2 y) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 y = 0 + 2 πn

2 y = 0 + 2 πn

Risolvi

2 y = 0 + 2 πn : y = πn

2 y = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 y = 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 y = 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 y}{2} = \frac{2 πn}{2}

Semplificare

y = πn

y = πn

y = πn

cos (2 y) = 0 : y = \frac{π}{4} + πn, y = \frac{3 π}{4} + πn

cos (2 y) = 0

Soluzioni generali per

cos (2 y) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 y = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 y = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Risolvi

2 y = \frac{π}{2} + 2 πn : y = \frac{π}{4} + πn

2 y = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 y = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 y}{2} : y

\frac{2 y}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= y

Semplificare

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

y = \frac{π}{4} + πn

y = \frac{π}{4} + πn

y = \frac{π}{4} + πn

Risolvi

2 y = \frac{3 π}{2} + 2 πn : y = \frac{3 π}{4} + πn

2 y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 y = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 y}{2} : y

\frac{2 y}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= y

Semplificare

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

y = \frac{3 π}{4} + πn

y = \frac{3 π}{4} + πn

y = \frac{3 π}{4} + πn

y = \frac{π}{4} + πn, y = \frac{3 π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

y = πn, y = \frac{π}{4} + πn, y = \frac{3 π}{4} + πn

Grafico

Esempi popolari

csc(x)cot(x)=2sqrt(3)

csc (x) cot (x) = 23

sin(θ)cos(θ)-sin(θ)=0

sin (θ) cos (θ) - sin (θ) = 0

cos^2(θ)+2sin(θ)+1=0

cos^{2} (θ) + 2 sin (θ) + 1 = 0

arcsec(x)=arcsec(2)

arcsec (x) = arcsec (2)

tan^2(x)+(sqrt(3)-1)tan(x)-sqrt(3)=0

tan^{2} (x) + (3 - 1) tan (x) - 3 = 0