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sin(20-θ)-cos(10+3θ)=0

Lösung

sin (2 0^{\circ} - θ) - cos (1 0^{\circ} + 3 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}, θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

Radianten

θ = \frac{π}{6} + \frac{6 π}{6} n, θ = - \frac{π}{9} - \frac{π}{2} n

Schritte zur Lösung

sin (2 0^{\circ} - θ) - cos (1 0^{\circ} + 3 θ) = 0

Füge

cos (1 0^{\circ} + 3 θ)

zu beiden Seiten hinzu

sin (2 0^{\circ} - θ) = cos (1 0^{\circ} + 3 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 0^{\circ} - θ) = cos (1 0^{\circ} + 3 θ)

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (x) = sin (9 0^{\circ} - x)

sin (2 0^{\circ} - θ) = sin (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ))

sin (2 0^{\circ} - θ) = sin (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ))

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (2 0^{\circ} - θ) = sin (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ))

sin (x) = sin (y) \Rightarrow x = y + 2 π n, x = π - y + 2 π n

2 0^{\circ} - θ = 9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n, 2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n

2 0^{\circ} - θ = 9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n, 2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n

2 0^{\circ} - θ = 9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n : θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

2 0^{\circ} - θ = 9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n

Schreibe

9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n

um:

- 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) + 36 0^{\circ} n

- (1 0^{\circ} + 3 θ) : - 1 0^{\circ} - 3 θ

- (1 0^{\circ} + 3 θ)

Setze Klammern

= - (1 0^{\circ}) - (3 θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 1 0^{\circ} - 3 θ

= 9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ + 36 0^{\circ} n

Vereinfache

9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ + 36 0^{\circ} n : - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ + 36 0^{\circ} n

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 18 : 18

2, 18

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

18 : 2 \cdot 3 \cdot 3

18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

18

vorkommt

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

= 18

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

18

Für

9 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 9}{2 \cdot 9} = 9 0^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 1 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 9 - 18 0 ^{\circ}}{18}

Addiere gleiche Elemente:

162 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 144 0^{\circ}

= 8 0^{\circ}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

= - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

2 0^{\circ} - θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

Verschiebe

2 0^{\circ}

auf die rechte Seite

2 0^{\circ} - θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ}

Subtrahiere

2 0^{\circ}

von beiden Seiten

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

Vereinfache

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

Vereinfache

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} : - θ

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ}

Addiere gleiche Elemente:

2 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 0

= - θ

Vereinfache

- 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ} - 2 0^{\circ} : - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

- 3 θ + 36 0^{\circ} n + 8 0^{\circ} - 2 0^{\circ}

Ziehe Brüche zusammen

8 0^{\circ} - 2 0^{\circ} : 6 0^{\circ}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{72 0 ^{\circ} - 18 0 ^{\circ}}{9}

Addiere gleiche Elemente:

72 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}

= 6 0^{\circ}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= 6 0^{\circ}

= - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

- θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

- θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

- θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

Verschiebe

3 θ

auf die linke Seite

- θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

Füge

3 θ

zu beiden Seiten hinzu

- θ + 3 θ = - 3 θ + 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ} + 3 θ

Vereinfache

2 θ = 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

2 θ = 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = 36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{6 0 ^{\circ}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{6 0 ^{\circ}}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{6 0 ^{\circ}}{2} : \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

\frac{36 0 ^{\circ} n}{2} + \frac{6 0 ^{\circ}}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{36 0 ^{\circ} n + 6 0 ^{\circ}}{2}

Füge

36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

zusammen:

\frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{3}

36 0^{\circ} n + 6 0^{\circ}

Wandle das Element in einen Bruch um:

36 0^{\circ} n = \frac{36 0 ^{\circ} n 3}{3}

= \frac{36 0 ^{\circ} n \cdot 3}{3} + 6 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{36 0 ^{\circ} n \cdot 3 + 18 0 ^{\circ}}{3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{3}

= \frac{\frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{3}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{3 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}

2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n : θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n

Schreibe

18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n

um:

18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)) + 36 0^{\circ} n

Multipliziere aus

9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ) : - 3 θ + 8 0^{\circ}

9 0^{\circ} - (1 0^{\circ} + 3 θ)

- (1 0^{\circ} + 3 θ) : - 1 0^{\circ} - 3 θ

- (1 0^{\circ} + 3 θ)

Setze Klammern

= - (1 0^{\circ}) - (3 θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 1 0^{\circ} - 3 θ

= 9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ

Vereinfache

9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ : - 3 θ + 8 0^{\circ}

9 0^{\circ} - 1 0^{\circ} - 3 θ

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 18 : 18

2, 18

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

18 : 2 \cdot 3 \cdot 3

18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

18

vorkommt

= 2 \cdot 3 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

= 18

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

18

Für

9 0^{\circ} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

9

9 0^{\circ} = \frac{18 0 ^{\circ} 9}{2 \cdot 9} = 9 0^{\circ}

= 9 0^{\circ} - 1 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 9 - 18 0 ^{\circ}}{18}

Addiere gleiche Elemente:

162 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 144 0^{\circ}

= 8 0^{\circ}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - 3 θ + 8 0^{\circ}

= - 3 θ + 8 0^{\circ}

= 18 0^{\circ} - (- 3 θ + 8 0^{\circ}) + 36 0^{\circ} n

- (- 3 θ + 8 0^{\circ}) : 3 θ - 8 0^{\circ}

- (- 3 θ + 8 0^{\circ})

Setze Klammern

= - (- 3 θ) - (8 0^{\circ})

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= 3 θ - 8 0^{\circ}

= 18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Verschiebe

2 0^{\circ}

auf die rechte Seite

2 0^{\circ} - θ = 18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Subtrahiere

2 0^{\circ}

von beiden Seiten

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 2 0^{\circ}

Vereinfache

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 2 0^{\circ}

Vereinfache

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ} : - θ

2 0^{\circ} - θ - 2 0^{\circ}

Addiere gleiche Elemente:

2 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 0

= - θ

Vereinfache

18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 2 0^{\circ} : 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

18 0^{\circ} + 3 θ - 8 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 2 0^{\circ}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 2 0^{\circ} - 8 0^{\circ}

Ziehe Brüche zusammen

- 2 0^{\circ} - 8 0^{\circ} : - 10 0^{\circ}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 18 0 ^{\circ} - 72 0 ^{\circ}}{9}

Addiere gleiche Elemente:

- 18 0^{\circ} - 72 0^{\circ} = - 90 0^{\circ}

= \frac{- 90 0 ^{\circ}}{9}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - 10 0^{\circ}

= 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

- θ = 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

- θ = 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

- θ = 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

Verschiebe

3 θ

auf die linke Seite

- θ = 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

Subtrahiere

3 θ

von beiden Seiten

- θ - 3 θ = 3 θ + 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ} - 3 θ

Vereinfache

- 4 θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

- 4 θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

Teile beide Seiten durch

- 4

- 4 θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

Teile beide Seiten durch

- 4

\frac{- 4 θ}{- 4} = \frac{18 0 ^{\circ}}{- 4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{- 4} - \frac{10 0 ^{\circ}}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 θ}{- 4} = \frac{18 0 ^{\circ}}{- 4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{- 4} - \frac{10 0 ^{\circ}}{- 4}

Vereinfache

\frac{- 4 θ}{- 4} : θ

\frac{- 4 θ}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4 θ}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{18 0 ^{\circ}}{- 4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{- 4} - \frac{10 0 ^{\circ}}{- 4} : - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

\frac{18 0 ^{\circ}}{- 4} + \frac{36 0 ^{\circ} n}{- 4} - \frac{10 0 ^{\circ}}{- 4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} + 36 0 ^{\circ} n - 10 0 ^{\circ}}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18 0 ^{\circ} + 36 0 ^{\circ} n - 10 0 ^{\circ}}{4}

Füge

18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

zusammen:

\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9}

18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n - 10 0^{\circ}

Wandle das Element in einen Bruch um:

18 0^{\circ} = 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ} n = \frac{36 0 ^{\circ} n 9}{9}

= 18 0^{\circ} + \frac{36 0 ^{\circ} n \cdot 9}{9} - 10 0^{\circ}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{18 0 ^{\circ} 9 + 36 0 ^{\circ} n \cdot 9 - 90 0 ^{\circ}}{9}

18 0^{\circ} 9 + 36 0^{\circ} n \cdot 9 - 90 0^{\circ} = 72 0^{\circ} + 324 0^{\circ} n

18 0^{\circ} 9 + 36 0^{\circ} n \cdot 9 - 90 0^{\circ}

Addiere gleiche Elemente:

162 0^{\circ} - 90 0^{\circ} = 72 0^{\circ}

= 72 0^{\circ} + 2 \cdot 162 0^{\circ} n

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= 72 0^{\circ} + 324 0^{\circ} n

= \frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9}

= - \frac{\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9}}{4}

Vereinfache

\frac{\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9}}{4} : \frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{36}

\frac{\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9}}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{9 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 4 = 36

= \frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{36}

= - \frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{36}

Streiche

\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{36} : \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

\frac{72 0 ^{\circ} + 324 0 ^{\circ} n}{36}

Faktorisiere

72 0^{\circ} + 324 0^{\circ} n : 36 0^{\circ} (2 + 9 n)

72 0^{\circ} + 324 0^{\circ} n

Schreibe um

= 2 \cdot 36 0^{\circ} + 9 \cdot 36 0^{\circ} n

Klammere gleiche Terme aus

36 0^{\circ}

= 36 0^{\circ} (2 + 9 n)

= \frac{36 0 ^{\circ} ( 2 + 9 n )}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

= - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}, θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

θ = \frac{108 0 ^{\circ} n + 18 0 ^{\circ}}{6}, θ = - \frac{18 0 ^{\circ} ( 9 n + 2 )}{18}

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)= 1/1

tan (x) = \frac{1}{1}

cos(2θ)+3sin(θ)=2

cos (2 θ) + 3 sin (θ) = 2

0=2sin(2x)-sin(x)

0 = 2 sin (2 x) - sin (x)

sec^2(x/3)=2

sec^{2} (\frac{x}{3}) = 2

sin(w)=0.79

sin (w) = 0.79