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90-70sin(x)-130cos(x)=0

Lösung

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

Lösung

x = 1.40923 \dots + 2 πn, x = - 0.42135 \dots + 2 πn

Grad

x = 80.74328 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 24.14177 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

Füge

130 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

90 - 70 sin (x) = 130 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(90 - 70 sin (x))^{2} = (130 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(130 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x))

Vereinfache

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x)) : 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

(90 - 70 sin (x))^{2} - 16900 (1 - sin^{2} (x))

(90 - 70 sin (x))^{2} : 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 90, b = 70 sin (x)

= 9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2}

Vereinfache

9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2} : 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

9 0^{2} - 2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) + (70 sin (x))^{2}

9 0^{2} = 8100

9 0^{2}

9 0^{2} = 8100

= 8100

2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x) = 12600 sin (x)

2 \cdot 90 \cdot 70 sin (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 90 \cdot 70 = 12600

= 12600 sin (x)

(70 sin (x))^{2} = 4900 sin^{2} (x)

(70 sin (x))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 7 0^{2} sin^{2} (x)

7 0^{2} = 4900

= 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 (1 - sin^{2} (x))

Multipliziere aus

- 16900 (1 - sin^{2} (x)) : - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

- 16900 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 16900, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 16900 \cdot 1 - (- 16900) sin^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 16900 \cdot 1 + 16900 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16900 \cdot 1 = 16900

= - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

= 8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

Vereinfache

8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x) : 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

8100 - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) - 16900 + 16900 sin^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12600 sin (x) + 4900 sin^{2} (x) + 16900 sin^{2} (x) + 8100 - 16900

Addiere gleiche Elemente:

4900 sin^{2} (x) + 16900 sin^{2} (x) = 21800 sin^{2} (x)

= - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) + 8100 - 16900

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

8100 - 16900 = - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

= 21800 sin^{2} (x) - 12600 sin (x) - 8800

- 8800 - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 8800 - 12600 sin (x) + 21800 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0 : u = \frac{63 + 13 137}{218}, u = \frac{63 - 13 137}{218}

- 8800 - 12600 u + 21800 u^{2} = 0

Teile beide Seiten durch

21800

- \frac{8800}{21800} - \frac{12600 u}{21800} + \frac{21800 u ^{2}}{21800} = \frac{0}{21800}

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - \frac{63 u}{109} - \frac{44}{109} = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - \frac{63 u}{109} - \frac{44}{109} = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - \frac{63}{109}, c = - \frac{44}{109}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm ( - \frac{63}{109} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - \frac{44}{109} )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm ( - \frac{63}{109} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - \frac{44}{109} )}{2 \cdot 1}

(- \frac{63}{109})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{44}{109}) = \frac{13 137}{109}

(- \frac{63}{109})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- \frac{44}{109})

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- \frac{63}{109})^{2} + 4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109}

(- \frac{63}{109})^{2} = \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

(- \frac{63}{109})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{63}{109})^{2} = (\frac{63}{109})^{2}

= (\frac{63}{109})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109} = \frac{176}{109}

4 \cdot 1 \cdot \frac{44}{109}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= 1 \cdot \frac{44 \cdot 4}{109}

Multipliziere die Zahlen:

44 \cdot 4 = 176

= 1 \cdot \frac{176}{109}

Multipliziere:

1 \cdot \frac{176}{109} = \frac{176}{109}

= \frac{176}{109}

= \frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}} + \frac{176}{109}

\frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}} = \frac{3969}{11881}

\frac{6 3 ^{2}}{10 9 ^{2}}

6 3^{2} = 3969

= \frac{3969}{10 9 ^{2}}

10 9^{2} = 11881

= \frac{3969}{11881}

= \frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

Füge

\frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

zusammen:

\frac{23153}{11881}

\frac{3969}{11881} + \frac{176}{109}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

11881, 109 : 11881

11881, 109

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

11881 : 109 \cdot 109

11881

11881

ist durch

10911881 = 109 \cdot 109

teilbar

= 109 \cdot 109

Primfaktorzerlegung von

109 : 109

109

109

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 109

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

11881

oder

109

vorkommt

= 109 \cdot 109

Multipliziere die Zahlen:

109 \cdot 109 = 11881

= 11881

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

11881

Für

\frac{176}{109} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

109

\frac{176}{109} = \frac{176 \cdot 109}{109 \cdot 109} = \frac{19184}{11881}

= \frac{3969}{11881} + \frac{19184}{11881}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3969 + 19184}{11881}

Addiere die Zahlen:

3969 + 19184 = 23153

= \frac{23153}{11881}

= \frac{23153}{11881}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{23153}{11881}

11881 = 109

11881

Faktorisiere die Zahl:

11881 = 10 9^{2}

= 10 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

10 9^{2} = 109

= 109

= \frac{23153}{109}

23153 = 13137

23153

Primfaktorzerlegung von

23153 : 1 3^{2} \cdot 137

23153

23153

ist durch

1323153 = 1781 \cdot 13

teilbar

= 13 \cdot 1781

1781

ist durch

131781 = 137 \cdot 13

teilbar

= 13 \cdot 13 \cdot 137

13, 137

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 13 \cdot 13 \cdot 137

= 1 3^{2} \cdot 137

= 1 3^{2} \cdot 137

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 137 1 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 3^{2} = 13

= 13137

= \frac{13 137}{109}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) \pm \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1} : \frac{63 + 13 137}{218}

\frac{- ( - \frac{63}{109} ) + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{63}{109} + \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{63}{109} + \frac{13 137}{109}}{2}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{63}{109} + \frac{13 137}{109} : \frac{63 + 13 137}{109}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{63 + 13 137}{109}

= \frac{\frac{63 + 13 137}{109}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{63 + 13 137}{109 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

109 \cdot 2 = 218

= \frac{63 + 13 137}{218}

u = \frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1} : \frac{63 - 13 137}{218}

\frac{- ( - \frac{63}{109} ) - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{63}{109} - \frac{13 137}{109}}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{\frac{63}{109} - \frac{13 137}{109}}{2}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{63}{109} - \frac{13 137}{109} : \frac{63 - 13 137}{109}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{63 - 13 137}{109}

= \frac{\frac{63 - 13 137}{109}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{63 - 13 137}{109 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

109 \cdot 2 = 218

= \frac{63 - 13 137}{218}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{63 + 13 137}{218}, u = \frac{63 - 13 137}{218}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}, sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}, sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218} : x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{63 + 13 137}{218}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218} : x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{63 - 13 137}{218}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn, x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

ein, um zu lösen

90 - 70 sin (arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

ein, um zu lösen

90 - 70 sin (π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (π - arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

41.82314 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

ein, um zu lösen

90 - 70 sin (arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1

90 - 70 sin (x) - 130 cos (x) = 0

ein, um zu lösen

90 - 70 sin (π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) - 130 cos (π + arcsin (- \frac{63 - 13 137}{218}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

237.25942 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (\frac{63 + 13 137}{218}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{63 - 13 137}{218}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.40923 \dots + 2 πn, x = - 0.42135 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(x)sec(x)-2sqrt(3)sin(x)=0

2 sin (x) sec (x) - 23 sin (x) = 0

cot(a)sec(a)=cos(a)

cot (a) sec (a) = cos (a)

cos(2x)2cos(x)=2(2cos^2(x)-1)2cos(x)

cos (2 x) 2 cos (x) = 2 (2 cos^{2} (x) - 1) 2 cos (x)

4sin^2(x)=4cos(x)+1

4 sin^{2} (x) = 4 cos (x) + 1

2tan^2(x)+3tan(x)-2=0

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