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12sin^3(x)-9sin(x)=0

Lösung

12 sin^{3} (x) - 9 sin (x) = 0

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

12 sin^{3} (x) - 9 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

12 sin^{3} (x) - 9 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

12 u^{3} - 9 u = 0

12 u^{3} - 9 u = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

12 u^{3} - 9 u = 0

Faktorisiere

12 u^{3} - 9 u : 3 u (2 u + 3) (2 u - 3)

12 u^{3} - 9 u

Klammere gleiche Terme aus

3 u : 3 u (4 u^{2} - 3)

12 u^{3} - 9 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= 12 u^{2} u - 9 u

Schreibe

9

um:

3 \cdot 3

Schreibe

12

um:

3 \cdot 4

= 3 \cdot 4 u^{2} u - 3 \cdot 3 u

Klammere gleiche Terme aus

3 u

= 3 u (4 u^{2} - 3)

= 3 u (4 u^{2} - 3)

Faktorisiere

4 u^{2} - 3 : (2 u + 3) (2 u - 3)

4 u^{2} - 3

Schreibe

4 u^{2} - 3

um:

(2 u)^{2} - (3)^{2}

4 u^{2} - 3

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} u^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= 2^{2} u^{2} - (3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

= (2 u)^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - (3)^{2} = (2 u + 3) (2 u - 3)

= (2 u + 3) (2 u - 3)

= 3 u (2 u + 3) (2 u - 3)

3 u (2 u + 3) (2 u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 2 u + 3 = 0 or 2 u - 3 = 0

Löse

2 u + 3 = 0 : u = - \frac{3}{2}

2 u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

2 u = - 3

2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}

Vereinfache

u = - \frac{3}{2}

u = - \frac{3}{2}

Löse

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{3}{2}, u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{3}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 0, sin (x) = - \frac{3}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{2} : x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = - \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(30+x)-sin(x)=0

cos (3 0^{\circ} + x) - sin (x) = 0

5sqrt(3)cos(x)-10sin(x)cos(x)=0

53 cos (x) - 10 sin (x) cos (x) = 0

tan(x)= 5/20

tan (x) = \frac{5}{20}

cos(x)(1+2sin(x))=0

cos (x) (1 + 2 sin (x)) = 0

tan(θ)= 6/5 ,pi<θ<(3pi)/2

tan (θ) = \frac{6}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}