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55sin(θ)-20-20cos(θ)=0

Lösung

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

Lösung

θ = 0.69754 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

Grad

θ = 39.96621 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

Füge

20 cos (θ)

zu beiden Seiten hinzu

55 sin (θ) - 20 = 20 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(55 sin (θ) - 20)^{2} = (20 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(20 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

(55 sin (θ) - 20)^{2} - 400 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ)) : 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} - 400 (1 - sin^{2} (θ))

(- 20 + 55 sin (θ))^{2} : 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - 20, b = 55 sin (θ)

= (- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

Vereinfache

(- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2} : 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

(- 20)^{2} + 2 (- 20) \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= (- 20)^{2} - 2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ) + (55 sin (θ))^{2}

(- 20)^{2} = 400

(- 20)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 20)^{2} = 2 0^{2}

= 2 0^{2}

2 0^{2} = 400

= 400

2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ) = 2200 sin (θ)

2 \cdot 20 \cdot 55 sin (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 \cdot 55 = 2200

= 2200 sin (θ)

(55 sin (θ))^{2} = 3025 sin^{2} (θ)

(55 sin (θ))^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 5 5^{2} sin^{2} (θ)

5 5^{2} = 3025

= 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 400 (1 - sin^{2} (θ)) : - 400 + 400 sin^{2} (θ)

- 400 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 400, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 400 \cdot 1 - (- 400) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 400 \cdot 1 + 400 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

400 \cdot 1 = 400

= - 400 + 400 sin^{2} (θ)

= 400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ)

Vereinfache

400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ) : 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

400 - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) - 400 + 400 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2200 sin (θ) + 3025 sin^{2} (θ) + 400 sin^{2} (θ) + 400 - 400

Addiere gleiche Elemente:

3025 sin^{2} (θ) + 400 sin^{2} (θ) = 3425 sin^{2} (θ)

= - 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) + 400 - 400

400 - 400 = 0

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

= 3425 sin^{2} (θ) - 2200 sin (θ)

- 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2200 sin (θ) + 3425 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0 : u = \frac{88}{137}, u = 0

- 2200 u + 3425 u^{2} = 0

Teile beide Seiten durch

3425

- \frac{2200 u}{3425} + \frac{3425 u ^{2}}{3425} = \frac{0}{3425}

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - \frac{88 u}{137} = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - \frac{88 u}{137} = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - \frac{88}{137}, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm ( - \frac{88}{137} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm ( - \frac{88}{137} ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

(- \frac{88}{137})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = \frac{88}{137}

(- \frac{88}{137})^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

(- \frac{88}{137})^{2} = \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

(- \frac{88}{137})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{88}{137})^{2} = (\frac{88}{137})^{2}

= (\frac{88}{137})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}} - 0

\frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}} - 0 = \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{8 8 ^{2}}{13 7 ^{2}}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

13 7^{2} = 137

= \frac{8 8 ^{2}}{137}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

8 8^{2} = 88

= \frac{88}{137}

u_{1, 2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) \pm \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1} : \frac{88}{137}

\frac{- ( - \frac{88}{137} ) + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{88}{137} + \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{88}{137} + \frac{88}{137} = 2 \cdot \frac{88}{137}

= \frac{2 \cdot \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 \cdot \frac{88}{137}}{2}

Multipliziere

2 \cdot \frac{88}{137} : \frac{176}{137}

2 \cdot \frac{88}{137}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{88 \cdot 2}{137}

Multipliziere die Zahlen:

88 \cdot 2 = 176

= \frac{176}{137}

= \frac{\frac{176}{137}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{176}{137 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

137 \cdot 2 = 274

= \frac{176}{274}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{88}{137}

u = \frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- ( - \frac{88}{137} ) - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{\frac{88}{137} - \frac{88}{137}}{2 \cdot 1}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{88}{137} - \frac{88}{137} = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{88}{137}, u = 0

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{88}{137}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{88}{137}, sin (θ) = 0

sin (θ) = \frac{88}{137} : θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{88}{137}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{88}{137}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{88}{137}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

Setze

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

ein, um zu lösen

55 sin (arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) - 20 - 20 cos (arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn :

Falsch

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

Setze

θ = π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

ein, um zu lösen

55 sin (π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) - 20 - 20 cos (π - arcsin (\frac{88}{137}) + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

30.65693 \dots = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Falsch

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

θ = 2 π 1

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

ein, um zu lösen

55 sin (2 π 1) - 20 - 20 cos (2 π 1) = 0

Fasse zusammen

- 40 = 0

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

θ = π + 2 π 1

55 sin (θ) - 20 - 20 cos (θ) = 0

ein, um zu lösen

55 sin (π + 2 π 1) - 20 - 20 cos (π + 2 π 1) = 0

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

θ = arcsin (\frac{88}{137}) + 2 πn, θ = π + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.69754 \dots + 2 πn, θ = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor y,sin(y)=0 löse nach

y, sin (y) = 0

8sin^2(x)=1

8 sin^{2} (x) = 1

tan^4(x)=1

tan^{4} (x) = 1

5sin(x)cos(x)=cos(x)

5 sin (x) cos (x) = cos (x)

0.6875=cos(A)

0.6875 = cos (A)