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[sin(x)+1/2 ]^2= 1/2 sin(x)+13/16

Soluzione

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Soluzione

x = 0.57111 \dots + 2 πn, x = π - 0.57111 \dots + 2 πn

Gradi

x = 32.72240 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 147.27759 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Risolvi per sostituzione

[sin (x) + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} sin (x) + \frac{13}{16}

Sia:

sin (x) = u

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16}

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16} : u = \frac{- 1 + 10}{4}, u = - \frac{1 + 10}{4}

[u + \frac{1}{2}]^{2} = \frac{1}{2} u + \frac{13}{16}

Trovare il minimo comune multiplo di

2, 16 : 16

2, 16

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

diviso per

216 = 8 \cdot 2

= 2 \cdot 8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 16

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Moltiplicare per il minimo comune multiplo=

16

[u + \frac{1}{2}]^{2} \cdot 16 = \frac{1}{2} u \cdot 16 + \frac{13}{16} \cdot 16

Semplificare

16 (u + \frac{1}{2})^{2} = 8 u + 13

Espandere

16 (u + \frac{1}{2})^{2} : 16 u^{2} + 16 u + 4

16 (u + \frac{1}{2})^{2}

(u + \frac{1}{2})^{2} = u^{2} + u + \frac{1}{4}

(u + \frac{1}{2})^{2}

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = \frac{1}{2}

= u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}

Semplifica

u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} : u^{2} + u + \frac{1}{4}

u^{2} + 2 u \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2}

2 u \frac{1}{2} = u

2 u \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} u

Cancella il fattore comune:

2

= u \cdot 1

Moltiplicare:

u \cdot 1 = u

= u

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}

(\frac{1}{2})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{2 ^{2}}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{2 ^{2}}

2^{2} = 4

= \frac{1}{4}

= u^{2} + u + \frac{1}{4}

= u^{2} + u + \frac{1}{4}

= 16 (u^{2} + u + \frac{1}{4})

Distribuire le parentesi

= 16 u^{2} + 16 u + 16 \cdot \frac{1}{4}

16 \cdot \frac{1}{4} = 4

16 \cdot \frac{1}{4}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{4}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{4}

Dividi i numeri:

\frac{16}{4} = 4

= 4

= 16 u^{2} + 16 u + 4

16 u^{2} + 16 u + 4 = 8 u + 13

Spostare

13

a sinistra dell'equazione

16 u^{2} + 16 u + 4 = 8 u + 13

Sottrarre

13

da entrambi i lati

16 u^{2} + 16 u + 4 - 13 = 8 u + 13 - 13

Semplificare

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

Spostare

8 u

a sinistra dell'equazione

16 u^{2} + 16 u - 9 = 8 u

Sottrarre

8 u

da entrambi i lati

16 u^{2} + 16 u - 9 - 8 u = 8 u - 8 u

Semplificare

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

Risolvi con la formula quadratica

16 u^{2} + 8 u - 9 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 16, b = 8, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 16 ( - 9 )}{2 \cdot 16}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 16 ( - 9 )}{2 \cdot 16}

8^{2} - 4 \cdot 16 (- 9) = 810

8^{2} - 4 \cdot 16 (- 9)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 9

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 16 \cdot 9 = 576

= 8^{2} + 576

8^{2} = 64

= 64 + 576

Aggiungi i numeri:

64 + 576 = 640

= 640

Fattorizzazione prima di

640 : 2^{7} \cdot 5

640

640

diviso per

2640 = 320 \cdot 2

= 2 \cdot 320

320

diviso per

2320 = 160 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 160

160

diviso per

2160 = 80 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 80

80

diviso per

280 = 40 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 40

40

diviso per

240 = 20 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 20

20

diviso per

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10

10

diviso per

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{7} \cdot 5

= 2^{7} \cdot 5

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 2 \cdot 5

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2^{6} 2 \cdot 5

Applicare la regola della radice:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 2 \cdot 5

Affinare

= 810

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 10}{2 \cdot 16}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16}, u_{2} = \frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16}

u = \frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16} : \frac{- 1 + 10}{4}

\frac{- 8 + 8 10}{2 \cdot 16}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8 + 8 10}{32}

Fattorizza

- 8 + 810 : 8 (- 1 + 10)

- 8 + 810

Riscrivi come

= - 8 \cdot 1 + 810

Fattorizzare dal termine comune

8

= 8 (- 1 + 10)

= \frac{8 ( - 1 + 10 )}{32}

Cancella il fattore comune:

8

= \frac{- 1 + 10}{4}

u = \frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16} : - \frac{1 + 10}{4}

\frac{- 8 - 8 10}{2 \cdot 16}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{- 8 - 8 10}{32}

Fattorizza

- 8 - 810 : - 8 (1 + 10)

- 8 - 810

Riscrivi come

= - 8 \cdot 1 - 810

Fattorizzare dal termine comune

8

= - 8 (1 + 10)

= - \frac{8 ( 1 + 10 )}{32}

Cancella il fattore comune:

8

= - \frac{1 + 10}{4}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{- 1 + 10}{4}, u = - \frac{1 + 10}{4}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{- 1 + 10}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 10}{4} :

Nessuna soluzione

sin (x) = - \frac{1 + 10}{4}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 10}{4}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = 0.57111 \dots + 2 πn, x = π - 0.57111 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

-csc(x)+2csc^3(x)=0

- csc (x) + 2 csc^{3} (x) = 0

sin(θ)= 500/680

sin (θ) = \frac{500}{680}

sin(3x)+cos(2x)=0

sin (3 x) + cos (2 x) = 0

cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)log_{10}(-1)

cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = 2 cos^{2} (a) lo g_{10} (- 1)

tan(x)=-(sqrt(3))/2

tan (x) = - \frac{3}{2}