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2(arcsin(x))^2+(2-pi)arcsin(x)-pi=0

Solução

2 (arcsin (x))^{2} + (2 - π) arcsin (x) - π = 0

Solução

x = sin (\frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}), x = sin (\frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4})

Passos da solução

2 (arcsin (x))^{2} + (2 - π) arcsin (x) - π = 0

Usando o método de substituição

2 (arcsin (x))^{2} + (2 - π) arcsin (x) - π = 0

Sea:

arcsin (x) = u

2 u^{2} + (2 - π) u - π = 0

2 u^{2} + (2 - π) u - π = 0 : u = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}, u = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

2 u^{2} + (2 - π) u - π = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} + (2 - π) u - π = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = 2 - π, c = - π

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - π ) \pm ( 2 - π ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - π )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - π ) \pm ( 2 - π ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - π )}{2 \cdot 2}

(2 - π)^{2} - 4 \cdot 2 (- π) = π^{2} + 4 π + 4

(2 - π)^{2} - 4 \cdot 2 (- π)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (2 - π)^{2} + 4 \cdot 2 π

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= (- π + 2)^{2} + 8 π

Expandir

(2 - π)^{2} + 8 π : π^{2} + 4 π + 4

(2 - π)^{2} + 8 π

(2 - π)^{2} : 4 - 4 π + π^{2}

Aplique a fórmula do quadrado perfeito:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = π

= 2^{2} - 2 \cdot 2 π + π^{2}

Simplificar

2^{2} - 2 \cdot 2 π + π^{2} : 4 - 4 π + π^{2}

2^{2} - 2 \cdot 2 π + π^{2}

2^{2} = 4

= 4 - 2 \cdot 2 π + π^{2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= 4 - 4 π + π^{2}

= 4 - 4 π + π^{2}

= 4 - 4 π + π^{2} + 8 π

Simplificar

4 - 4 π + π^{2} + 8 π : π^{2} + 4 π + 4

4 - 4 π + π^{2} + 8 π

Agrupar termos semelhantes

= π^{2} - 4 π + 8 π + 4

Somar elementos similares:

- 4 π + 8 π = 4 π

= π^{2} + 4 π + 4

= π^{2} + 4 π + 4

= π^{2} + 4 π + 4

u_{1, 2} = \frac{- ( 2 - π ) \pm π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( 2 - π ) + π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( 2 - π ) - π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( 2 - π ) + π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2} : \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}

\frac{- ( 2 - π ) + π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- ( - π + 2 ) + π ^{2} + 4 π + 4}{4}

- (2 - π) : - 2 + π

- (2 - π)

Colocar os parênteses

= - (2) - (- π)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + π

= \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}

u = \frac{- ( 2 - π ) - π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2} : \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

\frac{- ( 2 - π ) - π ^{2} + 4 π + 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- ( - π + 2 ) - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

- (2 - π) : - 2 + π

- (2 - π)

Colocar os parênteses

= - (2) - (- π)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 2 + π

= \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}, u = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

Substituir na equação

u = arcsin (x)

arcsin (x) = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}, arcsin (x) = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

arcsin (x) = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}, arcsin (x) = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

arcsin (x) = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4} : x = sin (\frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4})

arcsin (x) = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arcsin (x) = \frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}

arcsin (x) = a \Rightarrow x = sin (a)

x = sin (\frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4})

x = sin (\frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4})

arcsin (x) = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4} : x = sin (\frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4})

arcsin (x) = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arcsin (x) = \frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4}

arcsin (x) = a \Rightarrow x = sin (a)

x = sin (\frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4})

x = sin (\frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4})

Combinar toda as soluções

x = sin (\frac{- 2 + π + π ^{2} + 4 π + 4}{4}), x = sin (\frac{- 2 + π - π ^{2} + 4 π + 4}{4})

Gráfico

Exemplos populares

cos^2(x)+3sin(-x)-2=0

cos^{2} (x) + 3 sin (- x) - 2 = 0

cos(x)=-1,0<x<2pi

cos (x) = - 1, 0 < x < 2 π

1/(1+cos(x))+1/(1-cos(x))=32

\frac{1}{1 + cos ( x )} + \frac{1}{1 - cos ( x )} = 32

sin^2(x)=14

sin^{2} (x) = 14

sin(2x)*cos(3x)=0

sin (2 x) \cdot cos (3 x) = 0