English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع >

cos(θ)tan(θ)+cot(θ)=csc(θ)

الحلّ

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

الحلّ

θ \in R لا يوجد حلّ لـ

خطوات الحلّ

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

من الطرفين

csc (θ)

اطرح

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) - csc (θ) = 0

sin, cos :

عبّر بواسطة

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} = 0

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

بسّط:

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} + \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

وحّد الكسور:

\frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

فعّل القانون

= \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} cos (θ) + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = sin (θ)

cos (θ) \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:اضرب كسور

= \frac{sin ( θ ) cos ( θ )}{cos ( θ )}

cos (θ) :

إلغ العوامل المشتركة

= sin (θ)

= sin (θ) + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

sin (θ) = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

:حوّل الأعداد لكسور

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:بما أنّ المقامات متساوية، اجمع البسوط

= \frac{sin ( θ ) sin ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

sin (θ) sin (θ) + cos (θ) - 1 = sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1

sin (θ) sin (θ) + cos (θ) - 1

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:فعّل قانون القوى

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= sin^{2} (θ)

= sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )}

\frac{sin ^{2} ( θ ) + cos ( θ ) - 1}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1 = 0

من الطرفين

cos (θ)

اطرح

sin^{2} (θ) - 1 = - cos (θ)

ربّع الطرفين

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} = (- cos (θ))^{2}

من الطرفين

(- cos (θ))^{2}

اطرح

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ) = 0

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ)

حلل إلى عوامل:

(sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ)) (sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ))

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ)

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

فعّل قانون فرق المربّعات

(sin^{2} (θ) - 1)^{2} - cos^{2} (θ) = ((sin^{2} (θ) - 1) + cos (θ)) ((sin^{2} (θ) - 1) - cos (θ))

= ((sin^{2} (θ) - 1) + cos (θ)) ((sin^{2} (θ) - 1) - cos (θ))

بسّط

= (sin^{2} (θ) + cos (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - cos (θ) - 1)

(sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ)) (sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ)) = 0

حلّ كل جزء على حدة

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0 or sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 + cos (θ) = 0

Rewrite using trig identities

- 1 + cos (θ) + sin^{2} (θ)

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= cos (θ) - cos^{2} (θ)

cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

cos (θ) = u :

على افتراض أنّ

u - u^{2} = 0

u - u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

u - u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- u^{2} + u = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- u^{2} + u = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 1, b = 1, c = 0

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

1^{a} = 1

فعّل القانون

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 0

- (- a) = a

فعّل القانون

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 0

0 \cdot a = 0

فعّل القانون

= 1 + 0

1 + 0 = 1 :

اجمع الأعداد

= 1

1 = 1

فعّل القانون

= 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- 1 + 1}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 1 + 1}{- 2 \cdot 1}

- 1 + 1 = 0 :

اطرح/اجمع الأعداد

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{0}{- 2}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{0}{2}

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

فعّل القانون

= - 0

= 0

u = \frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- 1 - 1}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 1 - 1}{- 2 \cdot 1}

- 1 - 1 = - 2 :

اطرح الأعداد

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 2}{- 2}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= \frac{2}{2}

\frac{a}{a} = 1

فعّل القانون

= 1

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = 0, u = 1

u = cos (θ)

استبدل مجددًا

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0, cos (θ) = 1

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

cos (θ) = 1 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

حلّ:

θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

وحّد الحلول

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0 : θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin^{2} (θ) - 1 - cos (θ) = 0

Rewrite using trig identities

- 1 - cos (θ) + sin^{2} (θ)

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= - cos (θ) - cos^{2} (θ)

- cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

- cos (θ) - cos^{2} (θ) = 0

cos (θ) = u :

على افتراض أنّ

- u - u^{2} = 0

- u - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- u - u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- u^{2} - u = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- u^{2} - u = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 1, b = - 1, c = 0

لـ

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 0}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0 = 1

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 0

- (- a) = a

فعّل القانون

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 0

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

زوجيّ n

إذا تحقّق أنّ

, (- a)^{n} = a^{n}

:فعّل قانون القوى

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

1^{a} = 1

فعّل القانون

= 1

4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

4 \cdot 1 \cdot 0

0 \cdot a = 0

فعّل القانون

= 0

= 1 + 0

1 + 0 = 1 :

اجمع الأعداد

= 1

1 = 1

فعّل القانون

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 1}{2 ( - 1 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 1}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{1 + 1}{- 2 \cdot 1}

1 + 1 = 2 :

اجمع الأعداد

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{2}{- 2}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{2}{2}

\frac{a}{a} = 1

فعّل القانون

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )} : 0

\frac{- ( - 1 ) - 1}{2 ( - 1 )}

(- a) = - a, - (- a) = a

:احذف الأقواس

= \frac{1 - 1}{- 2 \cdot 1}

1 - 1 = 0 :

اطرح الأعداد

= \frac{0}{- 2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

اضرب الأعداد

= \frac{0}{- 2}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{0}{2}

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

فعّل القانون

= - 0

= 0

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - 1, u = 0

u = cos (θ)

استبدل مجددًا

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

cos (θ) = - 1 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0 :

حلول عامّة لـ

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

وحّد الحلول

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

وحّد الحلول

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

\frac{π}{2} + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

\frac{π}{2} + 2 πn

n = 1

استبدل

\frac{π}{2} + 2 π 1

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

في

cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) tan (\frac{π}{2} + 2 π 1) + cot (\frac{π}{2} + 2 π 1) = csc (\frac{π}{2} + 2 π 1)

غير معرّف

\Rightarrow خطأ

\frac{3 π}{2} + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

\frac{3 π}{2} + 2 πn

n = 1

استبدل

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

في

cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + cot (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = csc (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

غير معرّف

\Rightarrow خطأ

2 πn

افحص الحل:

صحيح

2 πn

n = 1

استبدل

2 π 1

θ = 2 π 1

عوّض

, cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

في

cos (2 π 1) tan (2 π 1) + cot (2 π 1) = csc (2 π 1)

بسّط

- \infty = - \infty

\Rightarrow صحيح

π + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

π + 2 πn

n = 1

استبدل

π + 2 π 1

θ = π + 2 π 1

عوّض

, cos (θ) tan (θ) + cot (θ) = csc (θ)

في

cos (π + 2 π 1) tan (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = csc (π + 2 π 1)

بسّط

- \infty = \infty

\Rightarrow خطأ

θ = 2 πn

2 πn :

بما أنّ المعادلة غير معرّفة لـ

θ \in R لا يوجد حلّ لـ

رسم

أمثلة شائعة

tan^2(x)= 1/(cot(x))

tan^{2} (x) = \frac{1}{cot ( x )}

(sin(θ))/(cos(θ))=sqrt(3)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = 3

48sin^2(x)=48-24cos(x)

48 sin^{2} (x) = 48 - 24 cos (x)

1-4cos(2x)=0

1 - 4 cos (2 x) = 0

1/(sqrt(2))=cos(θ)

\frac{1}{2} = cos (θ)