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solvefor θ,2sin(θ)=csc(θ)+1

Soluzione

risolvere per

θ, 2 sin (θ) = csc (θ) + 1

Soluzione

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Gradi

θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin (θ) = csc (θ) + 1

Sottrarre

csc (θ) + 1

da entrambi i lati

2 sin (θ) - csc (θ) - 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 - csc (θ) + 2 sin (θ)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

= - 1 - csc (θ) + 2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )} = \frac{2}{csc ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{csc ( θ )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{csc ( θ )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{csc ( θ )}

= - 1 - csc (θ) + \frac{2}{csc ( θ )}

- 1 - csc (θ) + \frac{2}{csc ( θ )} = 0

Risolvi per sostituzione

- 1 - csc (θ) + \frac{2}{csc ( θ )} = 0

Sia:

csc (θ) = u

- 1 - u + \frac{2}{u} = 0

- 1 - u + \frac{2}{u} = 0 : u = - 2, u = 1

- 1 - u + \frac{2}{u} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 1 - u + \frac{2}{u} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u

- 1 \cdot u - uu + \frac{2}{u} u = 0 \cdot u

Semplificare

- 1 \cdot u - uu + \frac{2}{u} u = 0 \cdot u

Semplificare

- 1 \cdot u : - u

- 1 \cdot u

Moltiplicare:

1 \cdot u = u

= - u

Semplificare

- uu : - u^{2}

- uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Semplificare

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 2

Semplificare

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

- u - u^{2} + 2 = 0

- u - u^{2} + 2 = 0

- u - u^{2} + 2 = 0

Risolvi

- u - u^{2} + 2 = 0 : u = - 2, u = 1

- u - u^{2} + 2 = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} - u + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Aggiungi i numeri:

1 + 8 = 9

= 9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )} : 1

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 2, u = 1

u = - 2, u = 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

- 1 - u + \frac{2}{u}

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = - 2, u = 1

Sostituire indietro

u = csc (θ)

csc (θ) = - 2, csc (θ) = 1

csc (θ) = - 2, csc (θ) = 1

csc (θ) = - 2 : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = - 2

Soluzioni generali per

csc (θ) = - 2

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

csc (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

csc (θ) = 1

Soluzioni generali per

csc (θ) = 1

csc (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} csc (x) Undefiend 22 \frac{2 3}{3} 1 \frac{2 3}{3} 22 x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} csc (x) Undefiend - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

sin^2(x)*sqrt(2)cos(x)=2

sin^{2} (x) \cdot 2 cos (x) = 2

cos(θ)= 20/27

cos (θ) = \frac{20}{27}

3sqrt(2)cos(x)+2=-1

32 cos (x) + 2 = - 1

1/(sin(x)*cos(x)+cos(x))= 1/(cos(x))

\frac{1}{sin ( x ) \cdot cos ( x ) + cos ( x )} = \frac{1}{cos ( x )}

4=tan^2(45+x/2)

4 = tan^{2} (4 5^{\circ} + \frac{x}{2})