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Popular >

3tan(θ)=tan(2θ)

Solução

3 tan (θ) = tan (2 θ)

Solução

θ = πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

3 tan (θ) = tan (2 θ)

Subtrair

tan (2 θ)

de ambos os lados

3 tan (θ) - tan (2 θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- tan (2 θ) + 3 tan (θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} + 3 tan (θ)

Simplificar

- \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} + 3 tan (θ) : \frac{tan ( θ ) - 3 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

- \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} + 3 tan (θ)

Converter para fração:

3 tan (θ) = \frac{3 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= - \frac{2 tan ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{3 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 tan ( θ ) + 3 tan ( θ ) ( 1 - tan ^{2} ( θ ) )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

Expandir

- 2 tan (θ) + 3 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

- 2 tan (θ) + 3 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Expandir

3 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ)) : 3 tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

3 tan (θ) (1 - tan^{2} (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3 tan (θ), b = 1, c = tan^{2} (θ)

= 3 tan (θ) \cdot 1 - 3 tan (θ) tan^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 \cdot tan (θ) - 3 tan^{2} (θ) tan (θ)

Simplificar

3 \cdot 1 \cdot tan (θ) - 3 tan^{2} (θ) tan (θ) : 3 tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

3 \cdot 1 \cdot tan (θ) - 3 tan^{2} (θ) tan (θ)

3 \cdot 1 \cdot tan (θ) = 3 tan (θ)

3 \cdot 1 \cdot tan (θ)

Multiplicar os números:

3 \cdot 1 = 3

= 3 tan (θ)

3 tan^{2} (θ) tan (θ) = 3 tan^{3} (θ)

3 tan^{2} (θ) tan (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan^{2} (θ) tan (θ) = tan^{2 + 1} (θ)

= 3 tan^{2 + 1} (θ)

Somar:

2 + 1 = 3

= 3 tan^{3} (θ)

= 3 tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

= 3 tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

= - 2 tan (θ) + 3 tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

Somar elementos similares:

- 2 tan (θ) + 3 tan (θ) = tan (θ)

= tan (θ) - 3 tan^{3} (θ)

= \frac{tan ( θ ) - 3 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

= \frac{tan ( θ ) - 3 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )}

\frac{tan ( θ ) - 3 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Usando o método de substituição

\frac{tan ( θ ) - 3 tan ^{3} ( θ )}{1 - tan ^{2} ( θ )} = 0

Sea:

tan (θ) = u

\frac{u - 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{u - 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

\frac{u - 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

u - 3 u^{3} = 0

Resolver

u - 3 u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

u - 3 u^{3} = 0

Fatorar

u - 3 u^{3} : - u (3 u + 1) (3 u - 1)

u - 3 u^{3}

Fatorar o termo comum

- u : - u (3 u^{2} - 1)

- 3 u^{3} + u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - 3 u^{2} u + u

Fatorar o termo comum

- u

= - u (3 u^{2} - 1)

= - u (3 u^{2} - 1)

Fatorar

3 u^{2} - 1 : (3 u + 1) (3 u - 1)

3 u^{2} - 1

Reescrever

3 u^{2} - 1

como

(3 u)^{2} - 1^{2}

3 u^{2} - 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= (3)^{2} u^{2} - 1^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} u^{2} = (3 u)^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

= (3 u)^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 u)^{2} - 1^{2} = (3 u + 1) (3 u - 1)

= (3 u + 1) (3 u - 1)

= - u (3 u + 1) (3 u - 1)

- u (3 u + 1) (3 u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u = 0 or 3 u + 1 = 0 or 3 u - 1 = 0

Resolver

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{3}{3}

3 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

3 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

3 u = - 1

3 u = - 1

Dividir ambos os lados por

3

3 u = - 1

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Eliminar o fator comum:

3

= u

Simplificar

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Racionalizar

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

u = - \frac{3}{3}

Resolver

3 u - 1 = 0 : u = \frac{3}{3}

3 u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

3 u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

3 u = 1

3 u = 1

Dividir ambos os lados por

3

3 u = 1

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Simplificar

\frac{3 u}{3} : u

\frac{3 u}{3}

Eliminar o fator comum:

3

= u

Simplificar

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

u = \frac{3}{3}

As soluções são

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1, u = - 1

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{u - 3 u ^{3}}{1 - u ^{2}}

e comparar com zero

Resolver

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - u^{2} = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Simplificar

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

- u^{2} = - 1

Dividir ambos os lados por

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Simplificar

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Para

x^{2} = f (a)

as soluções são

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Aplicar as propriedades dos radicais:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1, u = - 1

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 0, u = - \frac{3}{3}, u = \frac{3}{3}

Substituir na equação

u = tan (θ)

tan (θ) = 0, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 0, tan (θ) = - \frac{3}{3}, tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = 0 : θ = πn

tan (θ) = 0

Soluções gerais para

tan (θ) = 0

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = 0 + πn

θ = 0 + πn

Resolver

θ = 0 + πn : θ = πn

θ = 0 + πn

0 + πn = πn

θ = πn

θ = πn

tan (θ) = - \frac{3}{3} : θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = - \frac{3}{3}

Soluções gerais para

tan (θ) = - \frac{3}{3}

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{5 π}{6} + πn

θ = \frac{5 π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3} : θ = \frac{π}{6} + πn

tan (θ) = \frac{3}{3}

Soluções gerais para

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Combinar toda as soluções

θ = πn, θ = \frac{5 π}{6} + πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Gráfico

Exemplos populares

cos^{(2)}(x)-3sin^{(2)}(x)=0

cos^{(2)} (x) - 3 sin^{(2)} (x) = 0

solvefor a,cos(a)cos(b)=0.426 resolver para

a, cos (a) cos (b) = 0.426

5cos(x)-4=0

5 cos (x) - 4 = 0

2+2cos(x)=2-2sin(x)

2 + 2 cos (x) = 2 - 2 sin (x)

sin(x)=14

sin (x) = 14