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2-3sin(θ)=cos(θ)

Solution

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Solution

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Degrés

θ = 122.33353 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 20.79657 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Mettre les deux côtés au carré

(2 - 3 sin (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Soustraire

cos^{2} (θ)

des deux côtés

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(2 - 3 sin (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

Simplifier

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ)) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

(2 - 3 sin (θ))^{2} - (1 - sin^{2} (θ))

(2 - 3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 2, b = 3 sin (θ)

= 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

Simplifier

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2} : 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) + (3 sin (θ))^{2}

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ) = 12 sin (θ)

2 \cdot 2 \cdot 3 sin (θ)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12 sin (θ)

(3 sin (θ))^{2} = 9 sin^{2} (θ)

(3 sin (θ))^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 3^{2} sin^{2} (θ)

3^{2} = 9

= 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - (1 - sin^{2} (θ))

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Simplifier

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ) : 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

4 - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) - 1 + sin^{2} (θ)

Grouper comme termes

= - 12 sin (θ) + 9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 4 - 1

Additionner les éléments similaires :

9 sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 10 sin^{2} (θ)

= - 12 sin (θ) + 10 sin^{2} (θ) + 4 - 1

Additionner/Soustraire les nombres :

4 - 1 = 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

= 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) + 3

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Résoudre par substitution

3 + 10 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) = 0

Soit :

sin (θ) = u

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0 : u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

3 + 10 u^{2} - 12 u = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Résoudre par la formule quadratique

10 u^{2} - 12 u + 3 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 10, b = - 12, c = 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3}{2 \cdot 10}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3 = 26

(- 12)^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 3

Multiplier les nombres :

4 \cdot 10 \cdot 3 = 120

= 1 2^{2} - 120

1 2^{2} = 144

= 144 - 120

Soustraire les nombres :

144 - 120 = 24

= 24

Factorisation première de

24 : 2^{3} \cdot 3

24

24

divisée par

224 = 12 \cdot 2

= 2 \cdot 12

12

divisée par

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

divisée par

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2 \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2^{2} 2 \cdot 3

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 2 \cdot 3

Redéfinir

= 26

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 2 6}{2 \cdot 10}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

u = \frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 + 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) + 2 6}{2 \cdot 10}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{12 + 2 6}{2 \cdot 10}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 + 2 6}{20}

Factoriser

12 + 26 : 2 (6 + 6)

12 + 26

Récrire comme

= 2 \cdot 6 + 26

Factoriser le terme commun

2

= 2 (6 + 6)

= \frac{2 ( 6 + 6 )}{20}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{6 + 6}{10}

u = \frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10} : \frac{6 - 6}{10}

\frac{- ( - 12 ) - 2 6}{2 \cdot 10}

Appliquer la règle

- (- a) = a

= \frac{12 - 2 6}{2 \cdot 10}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 10 = 20

= \frac{12 - 2 6}{20}

Factoriser

12 - 26 : 2 (6 - 6)

12 - 26

Récrire comme

= 2 \cdot 6 - 26

Factoriser le terme commun

2

= 2 (6 - 6)

= \frac{2 ( 6 - 6 )}{20}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{6 - 6}{10}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{6 + 6}{10}, u = \frac{6 - 6}{10}

Remplacer

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}, sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

Solutions générales pour

sin (θ) = \frac{6 + 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10} : θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

Solutions générales pour

sin (θ) = \frac{6 - 6}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

Faux

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Pour

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

insérer

θ = arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Redéfinir

- 0.53484 \dots = 0.53484 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn :

vrai

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn

Insérer

n = 1

π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

Pour

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

insérer

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 π 1)

Redéfinir

- 0.53484 \dots = - 0.53484 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

vrai

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Pour

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

insérer

θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Redéfinir

0.93484 \dots = 0.93484 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn :

Faux

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Insérer

n = 1

π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

Pour

2 - 3 sin (θ) = cos (θ)

insérer

θ = π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1

2 - 3 sin (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1) = cos (π - arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 π 1)

Redéfinir

0.93484 \dots = - 0.93484 \dots

\Rightarrow Faux

θ = π - arcsin (\frac{6 + 6}{10}) + 2 πn, θ = arcsin (\frac{6 - 6}{10}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

θ = π - 1.00646 \dots + 2 πn, θ = 0.36296 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

5sin(3x)=4

5 sin (3 x) = 4

sec(θ)= 1/(cos(67.38))

sec (θ) = \frac{1}{cos ( 67.3 8 ^{\circ} )}

solvefor x,6cos^2(x)+cos(x)-1=0 résoudre pour

x, 6 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0

sqrt(3)=tan(θ/3)

3 = tan (\frac{θ}{3})

sec(x)-sqrt(2)=0,0<= x<2pi

sec (x) - 2 = 0, 0 \leq x < 2 π