展開する (-e^{-t}sin(t)+e^{-t}cos(t))^2

解

展開する

(- e^{- t} sin (t) + e^{- t} cos (t))^{2}

e^{- 2 t} (- sin (2 t) + 1)

解答ステップ

(- e^{- t} sin (t) + e^{- t} cos (t))^{2}

完全平方式を適用する:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - e^{- t} sin (t), b = e^{- t} cos (t)

= (- e^{- t} sin (t))^{2} + 2 (- e^{- t} sin (t)) e^{- t} cos (t) + (e^{- t} cos (t))^{2}

簡素化

(- e^{- t} sin (t))^{2} + 2 (- e^{- t} sin (t)) e^{- t} cos (t) + (e^{- t} cos (t))^{2} : e^{- 2 t} sin^{2} (t) - 2 e^{- 2 t} sin (t) cos (t) + e^{- 2 t} cos^{2} (t)

= e^{- 2 t} sin^{2} (t) - 2 e^{- 2 t} sin (t) cos (t) + e^{- 2 t} cos^{2} (t)

2倍角の公式を使用:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= cos^{2} (t) e^{- 2 t} + sin^{2} (t) e^{- 2 t} - sin (2 t) e^{- 2 t}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= e^{- 2 t} (- sin (2 t) + 1)