integral of x^2sqrt(2-x^2)

Lösung

\int x^{2} 2 - x^{2} d x

\frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int x^{2} 2 - x^{2} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sin^{2} (u) cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{1 - cos ( 4 u )}{8} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \int 1 - cos (4 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{8} (\int 1 d u - \int cos (4 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (4 u) d u = \frac{1}{4} sin (4 u)

= 4 \cdot \frac{1}{8} (u - \frac{1}{4} sin (4 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

ein

= 4 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x))) : \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x)))

= \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{4} sin (4 arcsin (\frac{1}{2} x))) + C

\frac{\partial}{\partial x} (8 - x^{2} - 3 y^{2})

\int \frac{x}{x - 36} d x

x \cdot sin (x) \cdot d x + cos (y) \cdot d y = 0

\int y^{2} - 2 y + 1 d y

\frac{\partial}{\partial v} (v cos (u))