integral of (1/(sqrt(x^2+1)))^3

Lösung

\int (\frac{1}{x ^{2} + 1})^{3} d x

\frac{x}{1 + x ^{2}} + C

Schritte zur Lösung

\int (\frac{1}{x ^{2} + 1})^{3} d x

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= \int (\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{1}{2}}})^{3} d x

Wende Exponentenregel an:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{1}{2}}} = (x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}}

= \int ((x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}})^{3} d x

Vereinfache

((x^{2} + 1)^{- \frac{1}{2}})^{3} : \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= sin (u)

Setze in

u = arctan (x)

ein

= sin (arctan (x))

Verwende die folgende Identität:

sin (arctan (x)) = \frac{x}{1 + x ^{2}}

= \frac{x}{1 + x ^{2}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x}{1 + x ^{2}} + C

\int - \frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

\int 9 x x^{2} + 7 d x

\int \frac{2 x + 6}{9 - x ^{2}} d x

\int \frac{3}{x + 5} d x

\int (\frac{4}{x ^{5}} - \frac{5}{x ^{2}} + \frac{7}{x}) d x