integral of (x^4+1)/(x^3+3x^2+2x)

解

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x

\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{17}{2} ln ∣ x + 2 ∣ - 2 ln ∣ x + 1 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x

拡張

\frac{x ^{4} + 1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} : \frac{x ^{4}}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} + \frac{1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{x ^{4}}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x + \int \frac{1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x

\int \frac{x ^{4}}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x - ln ∣ x + 1 ∣ + 8 ln ∣ x + 2 ∣

\int \frac{1}{x ^{3} + 3 x ^{2} + 2 x} d x = \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣

= \frac{x ^{2}}{2} - 3 x - ln ∣ x + 1 ∣ + 8 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣

簡素化

\frac{x ^{2}}{2} - 3 x - ln ∣ x + 1 ∣ + 8 ln ∣ x + 2 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ : \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{17}{2} ln ∣ x + 2 ∣ - 2 ln ∣ x + 1 ∣

= \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{17}{2} ln ∣ x + 2 ∣ - 2 ln ∣ x + 1 ∣

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{17}{2} ln ∣ x + 2 ∣ - 2 ln ∣ x + 1 ∣ + C