integral of (e^x)/(sqrt(e^{2x)+8e^x+7)}

Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 8 e ^{x} + 7} d x

ln (\frac{1}{3} 8 e^{x} + e^{2 x} + 7 + e^{x} + 4) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 8 e ^{x} + 7} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{u ^{2} + 8 u + 7} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} + 8 u + 7 : (u + 4)^{2} - 9

= \int \frac{1}{( u + 4 ) ^{2} - 9} d u

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{v ^{2} - 9} d v

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int sec (w) d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sec (w) d w = ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

= ln ∣ tan (w) + sec (w) ∣

Ersetze zurück

= ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (e^{x} + 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (e^{x} + 4)))

Vereinfache

ln tan (arcsec (\frac{1}{3} (e^{x} + 4))) + sec (arcsec (\frac{1}{3} (e^{x} + 4))) : ln (\frac{1}{3} 8 e^{x} + e^{2 x} + 7 + e^{x} + 4)

= ln (\frac{1}{3} 8 e^{x} + e^{2 x} + 7 + e^{x} + 4)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= ln (\frac{1}{3} 8 e^{x} + e^{2 x} + 7 + e^{x} + 4) + C

\int \frac{- 5}{x x + 1} d x

\int \frac{3 x ^{2} + x}{( 4 x ^{3} + 2 x ^{2} ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{3} e^{\frac{- x}{3}} d x

\int 49 cos^{2} (x) d x

\int 1 + sin (x^{2}) d x