integral of 5/(x^2-4)

Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - 4} d x

- \frac{5}{4} (ln \frac{x}{2} + 1 - ln \frac{x}{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - 4} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 4} d x

Wende integrale Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{1}{2 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 5 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

= 5 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln \frac{x}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{2} - 1}{2}))

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{2} (- (\frac{ln \frac{x}{2} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{2} - 1}{2})) : - \frac{5}{4} (ln \frac{x}{2} + 1 - ln \frac{x}{2} - 1)

= - \frac{5}{4} (ln \frac{x}{2} + 1 - ln \frac{x}{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{5}{4} (ln \frac{x}{2} + 1 - ln \frac{x}{2} - 1) + C

\int t^{2} + 3 d t

\int (1 + cot^{2} (x)) d x

\int csc^{4} (3 x - 1) d x

\int - 3 x^{- 3} d x

\int \frac{1}{sin ( 2 y )} d y