integral of (1-x)x^n

解

\int (1 - x) x^{n} d x

\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \frac{x ^{n + 2}}{n + 2} + C

解答ステップ

\int (1 - x) x^{n} d x

拡張

(1 - x) x^{n} : x^{n} - x^{1 + n}

= \int x^{n} - x^{1 + n} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{n} d x - \int x^{1 + n} d x

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

\int x^{1 + n} d x = \frac{x ^{n + 2}}{n + 2}

= \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \frac{x ^{n + 2}}{n + 2}

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \frac{x ^{n + 2}}{n + 2} + C