integral from-pi to 0 of-x*cos(nx)

解

\int_{- π}^{0} - x \cdot cos (n x) d x

- \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}

解答ステップ

\int_{- π}^{0} - x cos (n x) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int_{- π}^{0} x cos (n x) d x

u置換積分法を適用する

= - \int_{- πn}^{0} \frac{u cos ( u )}{n ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{n ^{2}} \cdot \int_{- πn}^{0} u cos (u) d u

部分積分を適用する

= - \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - \int sin (u) d u]_{- πn}^{0}

\int sin (u) d u = - cos (u)

= - \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) - (- cos (u))]_{- πn}^{0}

簡素化

= - \frac{1}{n ^{2}} [u sin (u) + cos (u)]_{- πn}^{0}

限度を計算する:

1 - (- 1)^{n}

= - \frac{1}{n ^{2}} (1 - (- 1)^{n})

簡素化

= - \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}