integral of (sin^5(ln(x)))/x

Lösung

\int \frac{sin ^{5} ( ln ( x ) )}{x} d x

- cos (ln (x)) + \frac{2 cos ^{3} ( ln ( x ) )}{3} - \frac{cos ^{5} ( ln ( x ) )}{5} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ^{5} ( ln ( x ) )}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int (1 - cos^{2} (u))^{2} sin (u) d u

Wende U-Substitution an

= \int - 1 + 2 v^{2} - v^{4} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int 1 d v + \int 2 v^{2} d v - \int v^{4} d v

\int 1 d v = v

\int 2 v^{2} d v = \frac{2 v ^{3}}{3}

\int v^{4} d v = \frac{v ^{5}}{5}

= - v + \frac{2 v ^{3}}{3} - \frac{v ^{5}}{5}

Ersetze zurück

= - cos (ln (x)) + \frac{2 cos ^{3} ( ln ( x ) )}{3} - \frac{cos ^{5} ( ln ( x ) )}{5}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - cos (ln (x)) + \frac{2 cos ^{3} ( ln ( x ) )}{3} - \frac{cos ^{5} ( ln ( x ) )}{5} + C

x \to 0 lim (\frac{5 + x - 5}{2 x})

d er i v a t i v e f (t) = e^{7 t s i n (2 t)}

t an g e n t f (x) = x (27 x^{- 2} + 2), at x = - 3

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{x - 1}{x + 1})

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e ^{x} - 1} d x