integral of (1-e^{-x})/(e^x)

解

\int \frac{1 - e ^{- x}}{e ^{x}} d x

- \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C

解答ステップ

\int \frac{1 - e ^{- x}}{e ^{x}} d x

拡張

\frac{1 - e ^{- x}}{e ^{x}} : \frac{1}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{2 x}}

= \int \frac{1}{e ^{x}} - \frac{1}{e ^{2 x}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{e ^{x}} d x - \int \frac{1}{e ^{2 x}} d x

\int \frac{1}{e ^{x}} d x = - \frac{1}{e ^{x}}

\int \frac{1}{e ^{2 x}} d x = - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

= - \frac{1}{e ^{x}} - (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})

簡素化

= - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{- 2 x}

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{e ^{x}} + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C