intégrale de-1 a 1 de 3x^2sqrt(x^2+1)

Solution

\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} x^{2} + 1 d x

3 (- \frac{1}{4} (2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2))) + 2)

Décimale

2.52095 \dots

étapes des solutions

\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} x^{2} + 1 d x

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int_{- 1}^{1} x^{2} x^{2} + 1 d x

Appliquer la subsitution trigonométrique

= 3 \cdot \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{3} (u) tan^{2} (u) d u

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= 3 \cdot \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) d u

Développer

sec^{3} (u) (- 1 + sec^{2} (u)) : - sec^{3} (u) + sec^{5} (u)

= 3 \cdot \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} - sec^{3} (u) + sec^{5} (u) d u

Appliquer la règle de la somme:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (- \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{3} (u) d u + \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{5} (u) d u)

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{3} (u) d u = 2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2))

\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} sec^{5} (u) d u = 2 + \frac{3}{4} (2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2)))

= 3 (- (2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2))) + 2 + \frac{3}{4} (2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2))))

Additionner les éléments similaires :

- (\frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (2 - 1)) + 2) + \frac{3}{4} (\frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (2 - 1)) + 2) = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (2 - 1)) + 2)

= 3 (- \frac{1}{4} (2 + \frac{1}{2} (ln (1 + 2) - ln (- 1 + 2))) + 2)

\int_{- 1}^{1} 6^{x} d x

\int_{0}^{t} r e^{t - r} d r

\int_{1}^{2} \frac{4}{6} + 4 z d z

\int_{0}^{3} 1 + 4 x^{2} + x^{4} d x

\int_{x}^{0} cos (u) d u