integral of 2/(1-e^x)

解

\int \frac{2}{1 - e ^{x}} d x

2 (- ln ∣ 1 - e^{x} ∣ + x) + C

解答ステップ

\int \frac{2}{1 - e ^{x}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{1 - e ^{x}} d x

\frac{1}{1 - e ^{x}} = \frac{e ^{x}}{1 - e ^{x}} + 1

= 2 \cdot \int \frac{e ^{x}}{1 - e ^{x}} + 1 d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (\int \frac{e ^{x}}{1 - e ^{x}} d x + \int 1 d x)

\int \frac{e ^{x}}{1 - e ^{x}} d x = - ln ∣ 1 - e^{x} ∣

\int 1 d x = x

= 2 (- ln ∣ 1 - e^{x} ∣ + x)

定数を解答に追加する

= 2 (- ln ∣ 1 - e^{x} ∣ + x) + C