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Beliebt Trigonometrie >

csc(x)+cot(x)=sqrt(3)

Lösung

csc (x) + cot (x) = 3

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

csc (x) + cot (x) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

csc (x) + cot (x) - 3 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 = 0

Vereinfache

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 : \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )} - 3

Wandle das Element in einen Bruch um:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cos (x) - 3 sin (x) = 0

Füge

3 sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

1 + cos (x) = 3 sin (x)

Quadriere beide Seiten

(1 + cos (x))^{2} = (3 sin (x))^{2}

Subtrahiere

(3 sin (x))^{2}

von beiden Seiten

(1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

(1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

(1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

(1 + cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Vereinfache

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

- 3 (1 - cos^{2} (x)) : - 3 + 3 cos^{2} (x)

- 3 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (x)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Vereinfache

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x) : 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

- 2 + 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 + 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

csc (x) + cot (x) = 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{3} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

csc (x) + cot (x) = 3

ein, um zu lösen

csc (\frac{π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Falsch

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Setze

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

csc (x) + cot (x) = 3

ein, um zu lösen

csc (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3

Fasse zusammen

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

csc (x) + cot (x) = 3

ein, um zu lösen

csc (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = 3

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin^2(θ)-1=0

sin^{2} (θ) - 1 = 0

3tan(x)=-sqrt(3)

3 tan (x) = - 3

5sin(x)+2=sin(x)

5 sin (x) + 2 = sin (x)

tan^2(θ)+tan(θ)=0

tan^{2} (θ) + tan (θ) = 0

sin^2(x)+sin(x)-2=0

sin^{2} (x) + sin (x) - 2 = 0