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Beliebt Trigonometrie >

7cos^2(θ)+5=2sin(θ)+7

Lösung

7 cos^{2} (θ) + 5 = 2 sin (θ) + 7

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.79560 \dots + 2 πn, θ = π - 0.79560 \dots + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 45.58469 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 134.41530 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

7 cos^{2} (θ) + 5 = 2 sin (θ) + 7

Subtrahiere

2 sin (θ) + 7

von beiden Seiten

7 cos^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 - 2 sin (θ) + 7 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 - 2 sin (θ) + 7 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 2 - 2 sin (θ) + 7 (1 - sin^{2} (θ)) : - 7 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 5

- 2 - 2 sin (θ) + 7 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

7 (1 - sin^{2} (θ)) : 7 - 7 sin^{2} (θ)

7 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 7, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 7 \cdot 1 - 7 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

7 \cdot 1 = 7

= 7 - 7 sin^{2} (θ)

= - 2 - 2 sin (θ) + 7 - 7 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 2 - 2 sin (θ) + 7 - 7 sin^{2} (θ) : - 7 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 5

- 2 - 2 sin (θ) + 7 - 7 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (θ) - 7 sin^{2} (θ) - 2 + 7

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 7 = 5

= - 7 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 5

= - 7 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 5

= - 7 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) + 5

5 - 2 sin (θ) - 7 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

5 - 2 sin (θ) - 7 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

5 - 2 u - 7 u^{2} = 0

5 - 2 u - 7 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{5}{7}

5 - 2 u - 7 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 7 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 7 u^{2} - 2 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 7, b = - 2, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 5}{2 ( - 7 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 7 ) \cdot 5}{2 ( - 7 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 7) \cdot 5 = 12

(- 2)^{2} - 4 (- 7) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 5

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 7 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 5 = 140

= 2^{2} + 140

2^{2} = 4

= 4 + 140

Addiere die Zahlen:

4 + 140 = 144

= 144

Faktorisiere die Zahl:

144 = 1 2^{2}

= 1 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 2^{2} = 12

= 12

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 12}{2 ( - 7 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 12}{2 ( - 7 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 12}{2 ( - 7 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 12}{2 ( - 7 )} : - 1

\frac{- ( - 2 ) + 12}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 12}{- 2 \cdot 7}

Addiere die Zahlen:

2 + 12 = 14

= \frac{14}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{14}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{14}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 12}{2 ( - 7 )} : \frac{5}{7}

\frac{- ( - 2 ) - 12}{2 ( - 7 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 12}{- 2 \cdot 7}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 12 = - 10

= \frac{- 10}{- 2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{- 10}{- 14}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{10}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{5}{7}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{5}{7}

sin (θ) = - 1, sin (θ) = \frac{5}{7}

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{5}{7} : θ = arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn

sin (θ) = \frac{5}{7}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{5}{7}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{5}{7}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{5}{7}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 0.79560 \dots + 2 πn, θ = π - 0.79560 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1-cos(2x)=1+cos(2x)

1 - cos (2 x) = 1 + cos (2 x)

5cos^2(x)-10cos(x)+5=0

5 cos^{2} (x) - 10 cos (x) + 5 = 0

3sin(x)-2sin(x)cos(x)=0

3 sin (x) - 2 sin (x) cos (x) = 0

8tan(b)+12=3tan(b)+7

8 tan (b) + 12 = 3 tan (b) + 7

sin(θ)+sqrt(2)=-sin(θ)

sin (θ) + 2 = - sin (θ)