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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)=5cos(2x)

Lösung

5 cos (x) = 5 cos (2 x)

Lösung

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) = 5 cos (2 x)

Subtrahiere

5 cos (2 x)

von beiden Seiten

5 cos (x) - 5 cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 5 cos (2 x) + 5 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 5 (2 cos^{2} (x) - 1) + 5 cos (x)

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 5 + 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- (- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 5 + 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 5 + 5 u = 0

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 5 + 5 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = 1

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 5 + 5 u = 0

Schreibe

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 5 + 5 u

um:

5 - 10 u^{2} + 5 u

- (- 1 + 2 u^{2}) \cdot 5 + 5 u

= - 5 (- 1 + 2 u^{2}) + 5 u

Multipliziere aus

- 5 (- 1 + 2 u^{2}) : 5 - 10 u^{2}

- 5 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = - 5, b = - 1, c = 2 u^{2}

= - 5 (- 1) + (- 5) \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, + (- a) = - a

= 5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 u^{2} : 5 - 10 u^{2}

5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 5 - 10 u^{2}

= 5 - 10 u^{2}

= 5 - 10 u^{2} + 5 u

5 - 10 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 10 u^{2} + 5 u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 10 u^{2} + 5 u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 10, b = 5, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 ( - 10 ) \cdot 5}{2 ( - 10 )}

5^{2} - 4 (- 10) \cdot 5 = 15

5^{2} - 4 (- 10) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 10 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 10 \cdot 5 = 200

= 5^{2} + 200

5^{2} = 25

= 25 + 200

Addiere die Zahlen:

25 + 200 = 225

= 225

Faktorisiere die Zahl:

225 = 1 5^{2}

= 1 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 5^{2} = 15

= 15

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 15}{2 ( - 10 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 15}{2 ( - 10 )}, u_{2} = \frac{- 5 - 15}{2 ( - 10 )}

u = \frac{- 5 + 15}{2 ( - 10 )} : - \frac{1}{2}

\frac{- 5 + 15}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 + 15}{- 2 \cdot 10}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 15 = 10

= \frac{10}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{10}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{20}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 5 - 15}{2 ( - 10 )} : 1

\frac{- 5 - 15}{2 ( - 10 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 5 - 15}{- 2 \cdot 10}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 15 = - 20

= \frac{- 20}{- 2 \cdot 10}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 10 = 20

= \frac{- 20}{- 20}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{20}{20}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(4θ)=cos(2θ)

cos (4 θ) = cos (2 θ)

3cos(3x)=2

3 cos (3 x) = 2

sec(θ)-2=-tan(θ)-3

sec (θ) - 2 = - tan (θ) - 3

sin^2(x)-sin(x)=1

sin^{2} (x) - sin (x) = 1

sqrt(2)sin(x)cos(x)+1sin(x)=0

2 sin (x) cos (x) + 1 sin (x) = 0