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受欢迎的三角函数 >

4tanh(x)-1/(cosh(x))=1

解答

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

解答

x = ln (\frac{5}{3})

+1

度数

x = 29.26815 \dots^{\circ}

求解步骤

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

使用三角恒等式改写

4 tanh (x) - \frac{1}{cosh ( x )} = 1

使用双曲函数恒等式:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 tanh (x) - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

使用双曲函数恒等式:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1 : x = ln (\frac{5}{3})

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

在两边乘以

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 1 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

化简

2 (e^{x} - e^{- x}) - 1 = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

使用指数运算法则

2 (e^{x} - e^{- x}) - 1 = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

2 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - 1 = \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

2 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) - 1 = \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2}

用

e^{x} = u

改写方程式

2 (u - (u)^{- 1}) - 1 = \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2}

解

2 (u - u^{- 1}) - 1 = \frac{u + u ^{- 1}}{2} : u = \frac{5}{3}, u = - 1

2 (u - u^{- 1}) - 1 = \frac{u + u ^{- 1}}{2}

整理后得

2 (u - \frac{1}{u}) - 1 = \frac{u ^{2} + 1}{2 u}

在两边乘以

2 u

2 (u - \frac{1}{u}) - 1 = \frac{u ^{2} + 1}{2 u}

在两边乘以

2 u

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u - 1 \cdot 2 u = \frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

化简

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u - 1 \cdot 2 u = \frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

化简

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u : 4 u (u - \frac{1}{u})

2 (u - \frac{1}{u}) \cdot 2 u

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 u (u - \frac{1}{u})

化简

- 1 \cdot 2 u : - 2 u

- 1 \cdot 2 u

数字相乘:

1 \cdot 2 = 2

= - 2 u

化简

\frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u : u^{2} + 1

\frac{u ^{2} + 1}{2 u} \cdot 2 u

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

约分:

2

= \frac{( u ^{2} + 1 ) u}{u}

约分:

u

= u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u = u^{2} + 1

展开

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u : 4 u^{2} - 4 - 2 u

4 u (u - \frac{1}{u}) - 2 u

乘开

4 u (u - \frac{1}{u}) : 4 u^{2} - 4

4 u (u - \frac{1}{u})

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 u, b = u, c = \frac{1}{u}

= 4 uu - 4 u \frac{1}{u}

= 4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u

化简

4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u : 4 u^{2} - 4

4 uu - 4 \cdot \frac{1}{u} u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

数字相加:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot \frac{1}{u} u = 4

4 \cdot \frac{1}{u} u

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4 u}{u}

约分:

u

= 1 \cdot 4

数字相乘:

1 \cdot 4 = 4

= 4

= 4 u^{2} - 4

= 4 u^{2} - 4

= 4 u^{2} - 4 - 2 u

4 u^{2} - 4 - 2 u = u^{2} + 1

将

4

到右边

4 u^{2} - 4 - 2 u = u^{2} + 1

两边加上

4

4 u^{2} - 4 - 2 u + 4 = u^{2} + 1 + 4

化简

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

解

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5 : u = \frac{5}{3}, u = - 1

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

将

5

para o lado esquerdo

4 u^{2} - 2 u = u^{2} + 5

两边减去

5

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2} + 5 - 5

化简

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

将

u^{2}

para o lado esquerdo

4 u^{2} - 2 u - 5 = u^{2}

两边减去

u^{2}

4 u^{2} - 2 u - 5 - u^{2} = u^{2} - u^{2}

化简

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

使用求根公式求解

3 u^{2} - 2 u - 5 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 3, b = - 2, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 5 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 5 )}{2 \cdot 3}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 5) = 8

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 5)

使用法则

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 5

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 5

数字相乘:

4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

数字相加:

4 + 60 = 64

= 64

因式分解数字:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 8}{2 \cdot 3}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3} : \frac{5}{3}

\frac{- ( - 2 ) + 8}{2 \cdot 3}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 + 8}{2 \cdot 3}

数字相加:

2 + 8 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{10}{6}

约分:

2

= \frac{5}{3}

u = \frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3} : - 1

\frac{- ( - 2 ) - 8}{2 \cdot 3}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 - 8}{2 \cdot 3}

数字相减:

2 - 8 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 3}

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 6}{6}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{6}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= - 1

二次方程组的解是:

u = \frac{5}{3}, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - 1

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

2 (u - u^{- 1}) - 1

的分母，令其等于零

u = 0

取

\frac{u + u ^{- 1}}{2}

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = \frac{5}{3}, u = - 1

u = \frac{5}{3}, u = - 1

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = \frac{5}{3} : x = ln (\frac{5}{3})

e^{x} = \frac{5}{3}

使用指数运算法则

e^{x} = \frac{5}{3}

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5}{3})

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

解

e^{x} = - 1 : x \in R

无解

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

x = ln (\frac{5}{3})

验证解:

x = ln (\frac{5}{3})

真

将它们代入

4 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} - \frac{1}{\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}} = 1

检验解是否符合

去除与方程不符的解。

代入

x = ln (\frac{5}{3}) :

真

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = 1

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} - \frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}}

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{32}{17}

4 \cdot \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}} = \frac{8}{17}

\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} - e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

化简

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

数字相加:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{\frac{5}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{34}{15}}

化简

\frac{5}{3} - \frac{3}{5} : \frac{16}{15}

\frac{5}{3} - \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} - \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 - 9}{15}

数字相减:

25 - 9 = 16

= \frac{16}{15}

= \frac{\frac{16}{15}}{\frac{34}{15}}

分式相除:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{16 \cdot 15}{15 \cdot 34}

约分:

15

= \frac{16}{34}

约分:

2

= \frac{8}{17}

= 4 \cdot \frac{8}{17}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{8 \cdot 4}{17}

数字相乘:

8 \cdot 4 = 32

= \frac{32}{17}

\frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}} = \frac{15}{17}

\frac{1}{\frac{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}{2}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{2}{e ^{l n (\frac{5}{3})} + e ^{- l n (\frac{5}{3})}}

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

e^{l n (\frac{5}{3})}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

= \frac{5}{3}

e^{- l n (\frac{5}{3})} = \frac{3}{5}

e^{- l n (\frac{5}{3})}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

= (e^{l n (\frac{5}{3})})^{- 1}

使用对数计算法则:

a^{l o g_{a} (b)} = b

e^{l n (\frac{5}{3})} = \frac{5}{3}

= (\frac{5}{3})^{- 1}

使用指数法则:

a^{- 1} = \frac{1}{a}

= \frac{1}{\frac{5}{3}}

使用分式法则:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{3}{5}

= \frac{2}{\frac{5}{3} + \frac{3}{5}}

化简

\frac{5}{3} + \frac{3}{5} : \frac{34}{15}

\frac{5}{3} + \frac{3}{5}

3, 5

的最小公倍数:

15

3, 5

最小公倍数 (LCM)

3

质因数分解:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

5

质因数分解:

5

5

5

是质数，因此无法因数分解

= 5

将每个因子乘以它在

3

或

5

中出现的最多次数

= 3 \cdot 5

数字相乘:

3 \cdot 5 = 15

= 15

根据最小公倍数调整分式

将每个分子乘以其分母转变为最小公倍数所要乘以的同一数值

15

对于

\frac{5}{3} :

将分母和分子乘以

5

\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{25}{15}

对于

\frac{3}{5} :

将分母和分子乘以

3

\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}

= \frac{25}{15} + \frac{9}{15}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{25 + 9}{15}

数字相加:

25 + 9 = 34

= \frac{34}{15}

= \frac{2}{\frac{34}{15}}

使用分式法则:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot 15}{34}

数字相乘:

2 \cdot 15 = 30

= \frac{30}{34}

约分:

2

= \frac{15}{17}

= \frac{32}{17} - \frac{15}{17}

化简

\frac{32}{17} - \frac{15}{17}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{32 - 15}{17}

数字相减:

32 - 15 = 17

= \frac{17}{17}

使用法则

\frac{a}{a} = 1

= 1

= 1

1 = 1

真

解是

x = ln (\frac{5}{3})

x = ln (\frac{5}{3})

作图

流行的例子

2sin(θ)cos(θ)=sin(θ)

2 sin (θ) cos (θ) = sin (θ)

cos(θ)=-(sqrt(11))/6

cos (θ) = - \frac{11}{6}

sin^2(x)-csc^2(x)=tan^2(x)-cot^2(x)

sin^{2} (x) - csc^{2} (x) = tan^{2} (x) - cot^{2} (x)

sin (x) = \frac{53}{54}

2sin^2(x)+sin(x)-3=0

2 sin^{2} (x) + sin (x) - 3 = 0