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beweisen (1+csc(θ))/(sec(θ))-cot(θ)=cos(θ)

Lösung

beweisen

\frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ) = cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )} - cot (θ)

Drücke mit sin, cos aus

- cot (θ) + \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1 + csc ( θ )}{sec ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{sec ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

Vereinfache

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} : cos (θ)

- \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{\frac{1}{c o s ( θ )}} = \frac{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{sin ( θ )}

\frac{1 + \frac{1}{s i n ( θ )}}{\frac{1}{c o s ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{s i n ( θ )} ) cos ( θ )}{1}

Füge

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

zusammen:

\frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

1 + \frac{1}{sin ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{1 \cdot sin ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{1}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (θ) = sin (θ)

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )}

= \frac{\frac{s i n ( θ ) + 1}{s i n ( θ )} cos ( θ )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{sin ( θ ) + 1}{sin ( θ )} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( θ ) + 1 ) cos ( θ )}{sin ( θ )}

= - \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( θ ) + cos ( θ ) ( sin ( θ ) + 1 )}{sin ( θ )}

Faktorisiere

- cos (θ) + (sin (θ) + 1) cos (θ) : cos (θ) sin (θ)

- cos (θ) + (sin (θ) + 1) cos (θ)

Klammere gleiche Terme aus

cos (θ)

= cos (θ) (- 1 + 1 + sin (θ))

Fasse zusammen

= cos (θ) sin (θ)

= \frac{cos ( θ ) sin ( θ )}{sin ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (2 θ) = \frac{2 cot ( θ )}{1 + cot ^{2} ( θ )}

p ro v e tan (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )}

p ro v e \frac{sin ^{2} ( x ) cot ( x )}{cos ( x )} = sin (x)

p ro v e csc (2 θ) + cot (2 θ) = cot (θ)

p ro v e - tan (x) cos (x) = sin (- x)