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beweisen cos(2x)=(cot^2(x)-1)/(cot^2(x)+1)

Lösung

beweisen

cos (2 x) = \frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x ) + 1}

Wahr

Schritte zur Lösung

cos (2 x) = \frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x ) + 1}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{cot ^{2} ( x ) - 1}{cot ^{2} ( x ) + 1}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + cot ^{2} ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

\frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Füge

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

- 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) ( sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (x)

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{- sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ( 2 x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos (2 x)

= cos (2 x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin^{2} (x) - 2 cos^{2} (x) = 3 sin^{2} (x) - 2

p ro v e tan (a) = tan (a) csc^{2} (a) + cot (- a)

p ro v e 7 csc^{2} (x) - 5 cot^{2} (x) = 2 csc^{2} (x) + 5

p ro v e \frac{1}{csc ( x ) + cot ( x )} = csc (x) - cot (x)

p ro v e tan (θ) (cot (θ) + tan (θ)) = sec^{2} (θ)