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beweisen (sec^2(u)-1)/(sec^2(u))=sin^2(u)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( u ) - 1}{sec ^{2} ( u )} = sin^{2} (u)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( u ) - 1}{sec ^{2} ( u )} = sin^{2} (u)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( u ) - 1}{sec ^{2} ( u )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{- 1 + sec ^{2} ( u )}{sec ^{2} ( u )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}} : - cos^{2} (u) + 1

\frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}{( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( u )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

(\frac{1}{cos ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( u )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{- 1 + ( \frac{1}{c o s ( u )} ) ^{2}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( u )}}

(\frac{1}{cos ( u )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

(\frac{1}{cos ( u )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( u )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( u )}}{\frac{1}{c o s ^{2} ( u )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( u )} ) cos ^{2} ( u )}{1}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( u ) + 1}{cos ^{2} ( u )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )} + \frac{1}{cos ^{2} ( u )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( u ) + 1}{cos ^{2} ( u )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (u) = cos^{2} (u)

= \frac{- cos ^{2} ( u ) + 1}{cos ^{2} ( u )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( u ) + 1}{c o s ^{2} ( u )} cos ^{2} ( u )}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= \frac{- cos ^{2} ( u ) + 1}{cos ^{2} ( u )} cos^{2} (u)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( u ) + 1 ) cos ^{2} ( u )}{cos ^{2} ( u )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos^{2} (u)

= - - cos^{2} (u) + 1

= - cos^{2} (u) + 1

= 1 - cos^{2} (u)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos^{2} (u)

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (u)

= sin^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

p ro v e cot (9 0^{\circ}) = \frac{1}{tan ( 9 0 ^{\circ} )}

p ro v e \frac{- 3 sin ^{2} ( 2 x )}{2} = \frac{3 cos ( 4 x )}{4}

p ro v e 8 sin^{4} (θ) = cos (4 θ) + 4 cos (2 θ) - 3

p ro v e sec^{2} (a) csc^{2} (a) = sec^{2} (a) + csc^{2} (a)