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beweisen sin(x)=sin(x+2pi)

Lösung

beweisen

sin (x) = sin (x + 2 π)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin (x) = sin (x + 2 π)

Manipuliere die rechte Seite

sin (x + 2 π)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x + 2 π)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π)

Vereinfache

sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π) : sin (x)

sin (x) cos (2 π) + cos (x) sin (2 π)

sin (x) cos (2 π) = sin (x)

sin (x) cos (2 π)

cos (2 π) = 1

cos (2 π)

cos (2 π) = cos (0)

cos (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= cos (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

cos

cos (x + 2 π) = cos (x)

cos (2 π + 0) = cos (0)

= cos (0)

= cos (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

= 1 \cdot sin (x)

Multipliziere:

sin (x) \cdot 1 = sin (x)

= sin (x)

cos (x) sin (2 π) = 0

cos (x) sin (2 π)

sin (2 π) = 0

sin (2 π)

sin (2 π) = sin (0)

sin (2 π)

Schreibe

2 π

um:

2 π + 0

= sin (2 π + 0)

Verwende die Periodizität von

sin

sin (x + 2 π) = sin (x)

sin (2 π + 0) = sin (0)

= sin (0)

= sin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (0) = 0

sin (0)

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= 0

= 0

= 0 \cdot cos (x)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= sin (x) + 0

sin (x) + 0 = sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

= sin (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 + cos (t) = \frac{sin ^{2} ( t )}{1 - cos ( t )}

p ro v e cos (3 x) = cos (x) (1 - 4 sin^{2} (x))

p ro v e tan (A) + cot (A) = \frac{2}{sin ( 2 A )}

p ro v e \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{1 + sin ( x )} = sin (x)

p ro v e cos (θ) \cdot tan (θ) \cdot csc (θ) = 1