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beweisen sec(2x)+tan(2x)=((cos(x)+sin(x)))/((cos(x)-sin(x)))

Lösung

beweisen

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{( cos ( x ) + sin ( x ) )}{( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 x) + tan (2 x) = \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Manipuliere die linke Seite

sec (2 x) + tan (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

sec (2 x) + tan (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )} + tan (2 x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1}{cos ( 2 x )} + \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} : \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = sin (x), b = cos (x)

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) + cos (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sec ( - 1 )}{1 - cos ( x )} = sec (x)

p ro v e cos^{2} (0) - sin^{2} (0) = 1 + sin (0)

p ro v e \frac{1}{sec ( x ) ( tan ( x ) )} = csc (x) - sin (x)

p ro v e \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sec ( x )}{2} = sin (x)

p ro v e cos^{2} (x) + tan^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x)