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Beliebt Trigonometrie >

cos^2(x)-cos(x)-2>= 0

Lösung

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Lösung

x = π + 2 πn

Dezimale

x = 3.14159 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos^{2} (x) - cos (x) - 2 \geq 0

Angenommen:

u = cos (x)

u^{2} - u - 2 \geq 0

u^{2} - u - 2 \geq 0 : u \leq - 1 or u \geq 2

u^{2} - u - 2 \geq 0

Faktorisiere

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} - u - 2

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

WahrPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Falsch

u = 1, v = - 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Klammere

u

aus

u^{2} + u

aus

: u (u + 1)

u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u + 1)

Klammere

- 2

aus

- 2 u - 2

aus

: - 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

(u + 1) (u - 2) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(u + 1) (u - 2)

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Finde die Vorzeichen von

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 < 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 < 0 + 2

Vereinfache

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u - 2 > 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

u - 2 + 2 > 0 + 2

Vereinfache

u > 2

u > 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = 2 or u > 2

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq - 1 or u = 2 or u > 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < - 1

oder

u = - 1

u \leq - 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 1

oder

u = 2

u \leq - 1 or u = 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 1 or u = 2

oder

u > 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

u \leq - 1 or u \geq 2

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) \leq - 1 or cos (x) \geq 2

cos (x) \leq - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) \leq - 1

Für

cos (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- 1) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (- 1) + 2 πn

Vereinfache

arccos (- 1) : π

arccos (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= π

Vereinfache

2 π - arccos (- 1) : π

2 π - arccos (- 1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arccos (- 1) = π

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - π

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= π

π + 2 πn \leq x \leq π + 2 πn

Vereinfache

x = π + 2 πn

cos (x) \geq 2 :

Falsch für alle

x \in R

cos (x) \geq 2

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) \geq 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq 2

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

x = π + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = π + 2 πn

Beliebte Beispiele

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

cos(-x)<0

cos (- x) < 0

sin(x^2)>= 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0