English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

(4cos(x)+3)/(3cos(x)+1)<2

Lời Giải

\frac{4 cos ( x ) + 3}{3 cos ( x ) + 1} < 2

Lời Giải

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Ký hiệu khoảng thời gian

(- \frac{π}{3} + 2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn) \cup (arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn)

Số thập phân

- 1.04719 \dots + 2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn or 1.91063 \dots + 2 πn < x < 4.37255 \dots + 2 πn

Các bước giải pháp

\frac{4 cos ( x ) + 3}{3 cos ( x ) + 1} < 2

Cho:

u = cos (x)

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} < 2

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} < 2 : u < - \frac{1}{3} or u > \frac{1}{2}

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} < 2

Viết lại ở dạng chuẩn

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} < 2

Trừ

2

cho cả hai bên

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} - 2 < 2 - 2

Rút gọn

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} - 2 < 0

Rút gọn

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} - 2 : \frac{- 2 u + 1}{3 u + 1}

\frac{4 u + 3}{3 u + 1} - 2

Chuyển phần tử thành phân số:

2 = \frac{2 ( 3 u + 1 )}{3 u + 1}

= \frac{4 u + 3}{3 u + 1} - \frac{2 ( 3 u + 1 )}{3 u + 1}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 u + 3 - 2 ( 3 u + 1 )}{3 u + 1}

Mở rộng

4 u + 3 - 2 (3 u + 1) : - 2 u + 1

4 u + 3 - 2 (3 u + 1)

Mở rộng

- 2 (3 u + 1) : - 6 u - 2

- 2 (3 u + 1)

Áp dụng luật phân phối:

a (b + c) = ab + a c

a = - 2, b = 3 u, c = 1

= - 2 \cdot 3 u + (- 2) \cdot 1

Áp dụng quy tắc trừ-cộng

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 3 u - 2 \cdot 1

Rút gọn

- 2 \cdot 3 u - 2 \cdot 1 : - 6 u - 2

- 2 \cdot 3 u - 2 \cdot 1

Nhân các số:

2 \cdot 3 = 6

= - 6 u - 2 \cdot 1

Nhân các số:

2 \cdot 1 = 2

= - 6 u - 2

= - 6 u - 2

= 4 u + 3 - 6 u - 2

Rút gọn

4 u + 3 - 6 u - 2 : - 2 u + 1

4 u + 3 - 6 u - 2

Nhóm các thuật ngữ

= 4 u - 6 u + 3 - 2

Thêm các phần tử tương tự:

4 u - 6 u = - 2 u

= - 2 u + 3 - 2

Cộng/Trừ các số:

3 - 2 = 1

= - 2 u + 1

= - 2 u + 1

= \frac{- 2 u + 1}{3 u + 1}

\frac{- 2 u + 1}{3 u + 1} < 0

\frac{- 2 u + 1}{3 u + 1} < 0

Xác định các khoảng:

Tìm dấu của các thừa số của

\frac{- 2 u + 1}{3 u + 1}

Tìm dấu của

- 2 u + 1

- 2 u + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

- 2 u + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

- 2 u + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

- 2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

- 2 u = - 1

- 2 u = - 1

Chia cả hai vế cho

- 2

- 2 u = - 1

Chia cả hai vế cho

- 2

\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

Rút gọn

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

- 2 u + 1 < 0 : u > \frac{1}{2}

- 2 u + 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

- 2 u + 1 < 0

Trừ

1

cho cả hai bên

- 2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Rút gọn

- 2 u < - 1

- 2 u < - 1

Nhân cả hai vế với

- 1

- 2 u < - 1

Nhân cả hai vế với -1 (đảo ngược bất đẳng thức)

(- 2 u) (- 1) > (- 1) (- 1)

Rút gọn

2 u > 1

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Rút gọn

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

- 2 u + 1 > 0 : u < \frac{1}{2}

- 2 u + 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

- 2 u + 1 > 0

Trừ

1

cho cả hai bên

- 2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Rút gọn

- 2 u > - 1

- 2 u > - 1

Nhân cả hai vế với

- 1

- 2 u > - 1

Nhân cả hai vế với -1 (đảo ngược bất đẳng thức)

(- 2 u) (- 1) < (- 1) (- 1)

Rút gọn

2 u < 1

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Rút gọn

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

Tìm dấu của

3 u + 1

3 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

3 u = - 1

3 u = - 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u = - 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Rút gọn

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{3}

3 u + 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u + 1 < 0

Trừ

1

cho cả hai bên

3 u + 1 - 1 < 0 - 1

Rút gọn

3 u < - 1

3 u < - 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u < - 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} < \frac{- 1}{3}

Rút gọn

u < - \frac{1}{3}

u < - \frac{1}{3}

3 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{3}

3 u + 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u + 1 > 0

Trừ

1

cho cả hai bên

3 u + 1 - 1 > 0 - 1

Rút gọn

3 u > - 1

3 u > - 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u > - 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} > \frac{- 1}{3}

Rút gọn

u > - \frac{1}{3}

u > - \frac{1}{3}

Tìm điểm kỳ dị

Tìm các số không của mẫu số

3 u + 1 : u = - \frac{1}{3}

3 u + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

3 u + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

3 u + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

3 u = - 1

3 u = - 1

Chia cả hai vế cho

3

3 u = - 1

Chia cả hai vế cho

3

\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}

Rút gọn

u = - \frac{1}{3}

u = - \frac{1}{3}

Tóm tắt trong một bảng:

- 2 u + 1 3 u + 1 \frac{- 2 u + 1}{3 u + 1} u < - \frac{1}{3} + - - u = - \frac{1}{3} + 0 Kh \overset{o}{^} ng x \overset{a}{ˊ} c đ ị nh - \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + + + u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} - + -

Xác định khoảng thỏa mãn điều kiện bắt buộc:

< 0

u < - \frac{1}{3} or u > \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{3} or u > \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{3} or u > \frac{1}{2}

Thay thế lại

u = cos (x)

cos (x) < - \frac{1}{3} or cos (x) > \frac{1}{2}

cos (x) < - \frac{1}{3} : arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < - \frac{1}{3}

Đối với

cos (x) < a

, nếu

- 1 < a \leq 1

thì

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2} : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) > \frac{1}{2}

Đối với

cos (x) > a

, nếu

- 1 \leq a < 1

thì

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Rút gọn

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Rút gọn

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Kết hợp các khoảng

arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn or - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

Hợp nhất các khoảng chồng lên nhau

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Ví dụ phổ biến

sin^2(2x)<= 1/2

sin^{2} (2 x) \leq \frac{1}{2}

(1-2cos^2(x))/(tan(x))>0

\frac{1 - 2 cos ^{2} ( x )}{tan ( x )} > 0

2cos^2(x)+cos(x)>0

2 cos^{2} (x) + cos (x) > 0

tan(2x)<= sqrt(3)

tan (2 x) \leq 3

(2sin(θ)cos(θ))/((3cos^2(θ)+1))>= 16/45

\frac{2 sin ( θ ) cos ( θ )}{( 3 cos ^{2} ( θ ) + 1 )} \geq \frac{16}{45}