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人気のある三角関数 >

2sin(θ)=2+2cos(θ)

解

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

解

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

+1

度

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

両辺を2乗する

(2 sin (θ))^{2} = (2 + 2 cos (θ))^{2}

両辺から

(2 + 2 cos (θ))^{2}

を引く

4 sin^{2} (θ) - 4 - 8 cos (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 sin^{2} (θ) - 8 cos (θ)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ)

簡素化

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ) : - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 (1 - cos^{2} (θ)) - 8 cos (θ)

拡張

4 (1 - cos^{2} (θ)) : 4 - 4 cos^{2} (θ)

4 (1 - cos^{2} (θ))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 4 \cdot 1 - 4 cos^{2} (θ)

数を乗じる:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 cos^{2} (θ)

= - 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

簡素化

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) : - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 4 - 4 cos^{2} (θ) + 4 - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

条件のようなグループ

= - 4 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) - 4 + 4

類似した元を足す:

- 4 cos^{2} (θ) - 4 cos^{2} (θ) = - 8 cos^{2} (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

= - 8 cos^{2} (θ) - 8 cos (θ)

- 8 cos (θ) - 8 cos^{2} (θ) = 0

置換で解く

- 8 cos (θ) - 8 cos^{2} (θ) = 0

仮定:

cos (θ) = u

- 8 u - 8 u^{2} = 0

- 8 u - 8 u^{2} = 0 : u = - 1, u = 0

- 8 u - 8 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 u^{2} - 8 u = 0

解くとthe二次式

- 8 u^{2} - 8 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 8, b = - 8, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 0}{2 ( - 8 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 0}{2 ( - 8 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 8) \cdot 0 = 8

(- 8)^{2} - 4 (- 8) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 0

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 8^{2} + 0

8^{2} + 0 = 8^{2}

= 8^{2}

累乗根の規則を適用する:

n a^{n} = a,

, 以下を想定

a \geq 0

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 8}{2 ( - 8 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )} : - 1

\frac{- ( - 8 ) + 8}{2 ( - 8 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 8}{- 2 \cdot 8}

数を足す:

8 + 8 = 16

= \frac{16}{- 2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{16}{- 16}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{16}{16}

規則を適用

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )} : 0

\frac{- ( - 8 ) - 8}{2 ( - 8 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 8}{- 2 \cdot 8}

数を引く:

8 - 8 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 8}

数を乗じる:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{0}{- 16}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{16}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

二次equationの解:

u = - 1, u = 0

代用を戻す

u = cos (θ)

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1, cos (θ) = 0

cos (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

cos (θ) = - 1

以下の一般解

cos (θ) = - 1

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

以下の一般解

cos (θ) = 0

cos (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

π + 2 πn :

真

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = π + 2 π 1

2 sin (π + 2 π 1) = 2 + 2 cos (π + 2 π 1)

改良

0 = 0

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{π}{2} + 2 πn :

真

\frac{π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2 + 2 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

改良

2 = 2

\Rightarrow 真

解答を確認する

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

偽

\frac{3 π}{2} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 sin (θ) = 2 + 2 cos (θ)

の挿入向け

θ = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

2 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 2 + 2 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)

改良

- 2 = 2

\Rightarrow 偽

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn

グラフ

人気の例

sec^2(x)+0.5sec(x)=0

sec^{2} (x) + 0.5 sec (x) = 0

solvefor x,ysin(xy)=y^2+2

so l v e f or x, y sin (x y) = y^{2} + 2

3sin(x)+1=2csc(x)

3 sin (x) + 1 = 2 csc (x)

cos (x) = a

3sin(x)+3cos(2x)=2

3 sin (x) + 3 cos (2 x) = 2