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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)sin(x)-3cos(x)=sqrt(6)

Lösung

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

Lösung

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

Grad

x = - 16 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 10 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

Füge

3 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

3 sin (x) = 6 + 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (6 + 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(6 + 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

3 sin^{2} (x) - 6 - 66 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 6 + 3 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Vereinfache

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

= - 6 + 3 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

Multipliziere aus

3 (1 - cos^{2} (x)) : 3 - 3 cos^{2} (x)

3 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Vereinfache

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 : - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 6 + 3 - 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6

Addiere gleiche Elemente:

- 3 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 12 cos^{2} (x)

= - 6 + 3 - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x)

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 6 + 3 = - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

= - 12 cos^{2} (x) - 66 cos (x) - 3

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

Löse mit Substitution

- 3 - 12 cos^{2} (x) - 6 cos (x) 6 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0 : u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

- 3 - 12 u^{2} - 6 u 6 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 12 u^{2} - 66 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 12, b = - 66, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm ( - 6 6 ) ^{2} - 4 ( - 12 ) ( - 3 )}{2 ( - 12 )}

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3) = 62

(- 66)^{2} - 4 (- 12) (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 66)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 3

(- 66)^{2} = 6^{3}

(- 66)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 66)^{2} = (66)^{2}

= (66)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 6^{2} (6)^{2}

(6)^{2} : 6

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (6^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 6

= 6^{2} \cdot 6

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

6^{2} \cdot 6 = 6^{2 + 1}

= 6^{2 + 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 6^{3}

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

4 \cdot 12 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 12 \cdot 3 = 144

= 144

= 6^{3} - 144

6^{3} = 216

= 216 - 144

Subtrahiere die Zahlen:

216 - 144 = 72

= 72

Primfaktorzerlegung von

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72

ist durch

272 = 36 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 36

36

ist durch

236 = 18 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

Fasse zusammen

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 6 ) \pm 6 2}{2 ( - 12 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}, u_{2} = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

u = \frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 + 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) + 6 2}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 + 6 2}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 + 6 2}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 + 6 2}{24}

Streiche

\frac{6 6 + 6 2}{24} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{6 6 + 6 2}{24}

Klammere gleiche Terme aus

6

= \frac{6 ( 6 + 2 )}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{6 + 2}{4}

= - \frac{6 + 2}{4}

u = \frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )} : - \frac{6 - 2}{4}

\frac{- ( - 6 6 ) - 6 2}{2 ( - 12 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{6 6 - 6 2}{- 2 \cdot 12}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 12 = 24

= \frac{6 6 - 6 2}{- 24}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6 6 - 6 2}{24}

Streiche

\frac{6 6 - 6 2}{24} : \frac{6 - 2}{4}

\frac{6 6 - 6 2}{24}

Klammere gleiche Terme aus

6

= \frac{6 ( 6 - 2 )}{24}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{6 - 2}{4}

= - \frac{6 - 2}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{6 + 2}{4}, u = - \frac{6 - 2}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}, cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{6 + 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4} : x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{6 - 2}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

3.34606 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

3 sin (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

2.44948 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1

3 sin (x) - 3 cos (x) = 6

ein, um zu lösen

3 sin (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 0.89657 \dots = 2.44948 \dots

\Rightarrow Falsch

x = - arccos (- \frac{6 + 2}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{6 - 2}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.87979 \dots + 2 πn, x = 1.83259 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)= 4/(sqrt(41))

sin (x) = \frac{4}{41}

sin(x)=-1.1

sin (x) = - 1.1

cos(2x)=0.25

cos (2 x) = 0.25

sin(x)=-0.1

sin (x) = - 0.1

189.4=100tan^2(45+θ/2)

189.4 = 100 tan^{2} (4 5^{\circ} + \frac{θ}{2})