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Populaire Trigonométrie >

(1+cos^2(a))sin^2(a)=1

Solution

(1 + cos^{2} (a)) sin^{2} (a) = 1

Solution

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Degrés

a = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

(1 + cos^{2} (a)) sin^{2} (a) = 1

Soustraire

1

des deux côtés

sin^{2} (a) (1 + cos^{2} (a)) - 1 = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- 1 + (1 + cos^{2} (a)) sin^{2} (a)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + (1 + 1 - sin^{2} (a)) sin^{2} (a)

Simplifier

= - 1 + sin^{2} (a) (- sin^{2} (a) + 2)

- 1 + (2 - sin^{2} (a)) sin^{2} (a) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + (2 - sin^{2} (a)) sin^{2} (a) = 0

Soit :

sin (a) = u

- 1 + (2 - u^{2}) u^{2} = 0

- 1 + (2 - u^{2}) u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + (2 - u^{2}) u^{2} = 0

Développer

- 1 + (2 - u^{2}) u^{2} : - 1 + 2 u^{2} - u^{4}

- 1 + (2 - u^{2}) u^{2}

= - 1 + u^{2} (2 - u^{2})

Développer

u^{2} (2 - u^{2}) : 2 u^{2} - u^{4}

u^{2} (2 - u^{2})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = u^{2}, b = 2, c = u^{2}

= u^{2} \cdot 2 - u^{2} u^{2}

= 2 u^{2} - u^{2} u^{2}

u^{2} u^{2} = u^{4}

u^{2} u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= u^{4}

= 2 u^{2} - u^{4}

= - 1 + 2 u^{2} - u^{4}

- 1 + 2 u^{2} - u^{4} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a = 0

- u^{4} + 2 u^{2} - 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} + 2 v - 1 = 0

Résoudre

- v^{2} + 2 v - 1 = 0 : v = 1

- v^{2} + 2 v - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- v^{2} + 2 v - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = 2, c = - 1

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( - 1 ) ( - 1 )}{2 ( - 1 )}

2^{2} - 4 (- 1) (- 1) = 0

2^{2} - 4 (- 1) (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Soustraire les nombres :

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 0}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- 2}{2 ( - 1 )}

\frac{- 2}{2 ( - 1 )} = 1

\frac{- 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La solution de l'équation de forme quadratique est :

v = 1

v = 1

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Les solutions sont

u = 1, u = - 1

Remplacer

u = sin (a)

sin (a) = 1, sin (a) = - 1

sin (a) = 1, sin (a) = - 1

sin (a) = 1 : a = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (a) = 1

Solutions générales pour

sin (a) = 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{π}{2} + 2 πn

a = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1 : a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1

Solutions générales pour

sin (a) = - 1

Tableau de périodicité

sin (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combiner toutes les solutions

a = \frac{π}{2} + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

cos^4(x)=cos^{23}(x)

cos^{4} (x) = cos^{23} (x)

cos^4(x)+2cos^2(x)=1

cos^{4} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

cos^2(x)+sin^2(x)=cos^5(x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = cos^{5} (x)

sin(x-45^5)=((sqrt(2)))/2

sin (x - 4 5^{5}) = \frac{( 2 )}{2}

(sin(x)-sqrt(3)*cos(x))/2 =0

\frac{sin ( x ) - 3 \cdot cos ( x )}{2} = 0