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Popolare Trigonometria >

arctan(1+x)+arctan(1-x)=arctan(1/2)

Soluzione

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Soluzione

x = 2, x = - 2

Fasi della soluzione

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (1 + x) + arctan (1 - x)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )})

arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}) = arctan (\frac{1}{2})

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}) = arctan (\frac{1}{2})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{1}{2}))

tan (arctan (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}

tan (arctan (\frac{1}{2}))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

tan (arctan (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}

Usare l'identità seguente:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Risolvi

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2} : x = 2, x = - 2

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Moltiplicare entrambi i membri

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} = \frac{1}{2}

Semplificare

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )} : \frac{2}{x ^{2}}

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}

1 + x + 1 - x = 2

1 + x + 1 - x

Raggruppa termini simili

= x - x + 1 + 1

Aggiungi elementi simili:

x - x = 0

= 1 + 1

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2

= \frac{2}{1 - ( x + 1 ) ( - x + 1 )}

Espandi

1 - (1 + x) (1 - x) : x^{2}

1 - (1 + x) (1 - x)

Espandi

- (1 + x) (1 - x) : - 1 + x^{2}

Espandi

(1 + x) (1 - x) : 1 - x^{2}

(1 + x) (1 - x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = x

= 1^{2} - x^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - x^{2}

= - (1 - x^{2})

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- x^{2})

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + x^{2}

= 1 - 1 + x^{2}

1 - 1 = 0

= x^{2}

= \frac{2}{x ^{2}}

\frac{2}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

2 \cdot 2 = x^{2} \cdot 1

Semplificare

2 \cdot 2 = x^{2} \cdot 1

Semplificare

2 \cdot 2 : 4

2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Semplificare

x^{2} \cdot 1 : x^{2}

x^{2} \cdot 1

Moltiplicare:

x^{2} \cdot 1 = x^{2}

= x^{2}

4 = x^{2}

4 = x^{2}

4 = x^{2}

Risolvi

4 = x^{2} : x = 2, x = - 2

4 = x^{2}

Scambia i lati

x^{2} = 4

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

x = 4, x = - 4

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

- 4 = - 2

- 4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= - 2^{2}

Applicare la regola della radice:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = - 2

= - 2

x = 2, x = - 2

x = 2, x = - 2

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

x = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{1 + x + 1 - x}{1 - ( 1 + x ) ( 1 - x )}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - (1 + x) (1 - x) = 0 : x = 0

1 - (1 + x) (1 - x) = 0

Espandere

1 - (1 + x) (1 - x) : x^{2}

1 - (1 + x) (1 - x)

Espandi

- (1 + x) (1 - x) : - 1 + x^{2}

Espandi

(1 + x) (1 - x) : 1 - x^{2}

(1 + x) (1 - x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = x

= 1^{2} - x^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - x^{2}

= - (1 - x^{2})

Distribuire le parentesi

= - (1) - (- x^{2})

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + x^{2}

= 1 - 1 + x^{2}

1 - 1 = 0

= x^{2}

x^{2} = 0

Risolvi con la formula quadratica

x^{2} = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = 0, c = 0

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 0

0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 1 \cdot 0

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0 - 0

Sottrai i numeri:

0 - 0 = 0

= 0

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0}{2 \cdot 1}

x = \frac{- 0}{2 \cdot 1}

\frac{- 0}{2 \cdot 1} = 0

\frac{- 0}{2 \cdot 1}

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Applicare la regola

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

x = 0

La soluzione dell'equazione quadratica è:

x = 0

I seguenti punti sono non definiti

x = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

x = 2, x = - 2

x = 2, x = - 2

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

2 :

Vero

2

Inserire in

n = 1

2

Per

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

inserisci la

x = 2

arctan (1 + 2) + arctan (1 - 2) = arctan (\frac{1}{2})

Affinare

0.46364 \dots = 0.46364 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

- 2 :

Vero

- 2

Inserire in

n = 1

- 2

Per

arctan (1 + x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{1}{2})

inserisci la

x = - 2

arctan (1 - 2) + arctan (1 - (- 2)) = arctan (\frac{1}{2})

Affinare

0.46364 \dots = 0.46364 \dots

\Rightarrow Vero

x = 2, x = - 2

Grafico

Esempi popolari

-4cos^2(x)=0

- 4 cos^{2} (x) = 0

sin^2(x)-4sin^2(x)+7cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 7 cos^{2} (x) = 0

(sin(x))(cos(x))=0

(sin (x)) (cos (x)) = 0

sin^2(x)-15sin(x)cos(x)+50cos^2(x)=0

sin^{2} (x) - 15 sin (x) cos (x) + 50 cos^{2} (x) = 0

cot(x)=sin^2(x)

cot (x) = sin^{2} (x)