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Beliebt Trigonometrie >

1+sin^2(x)+cos^4(x)=0

Lösung

1 + sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Schritte zur Lösung

1 + sin^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= 1 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Vereinfache

1 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 2

1 + cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 1 + 1

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 2

= cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 2

2 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Löse mit Substitution

2 - cos^{2} (x) + cos^{4} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 - u^{2} + u^{4} = 0

2 - u^{2} + u^{4} = 0 : u = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

2 - u^{2} + u^{4} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - u^{2} + 2 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

a = u^{2}

und

a^{2} = u^{4}

a^{2} - a + 2 = 0

Löse

a^{2} - a + 2 = 0 : a = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

a^{2} - a + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

a^{2} - a + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 1, c = 2

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}{2 \cdot 1}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 : 7 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 8 = - 7

= - 7

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 7 = - 1 7

= - 1 7

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 7 i

a_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 7 i}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

a_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}, a_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

a = \frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 7 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 7 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 7 i}{2}

Schreibe

\frac{1 + 7 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

\frac{1 + 7 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 7 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i

a = \frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1} : \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 7 i}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 7 i}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 7 i}{2}

Schreibe

\frac{1 - 7 i}{2}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

\frac{1 - 7 i}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 7 i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7 i}{2}

= \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

a = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

a = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}, a = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Setze

a = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2} : u = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Ersetze

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Schreibe

(a + bi)^{2}

um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Fasse zusammen

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Schreibe

a^{2} + 2 iab - b^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{7}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{7}{2}] : a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = \frac{2 2 - 1}{2} b = - \frac{2 2 - 1}{2}

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = \frac{7}{2}]

Stelle

a

nach

2 ab = \frac{7}{2}

um:

a = \frac{7}{4 b}

2 ab = \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

2 ab = \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{7}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{\frac{7}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b

= a

Vereinfache

\frac{\frac{7}{2}}{2 b} : \frac{7}{4 b}

\frac{\frac{7}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7}{2 \cdot 2 b}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{7}{4 b}

a = \frac{7}{4 b}

a = \frac{7}{4 b}

a = \frac{7}{4 b}

Setze die Lösungen

a = \frac{7}{4 b}

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

\frac{7}{4 b} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

\frac{7}{4 b}

(\frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(\frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

(\frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(\frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(\frac{7}{4 b})^{2} : \frac{7}{16 b ^{2}}

(\frac{7}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{7}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{7}{16 b ^{2}}

\frac{7}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 b^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 b^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 b^{2}

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 7

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{7 b ^{2}}{b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b^{2}

= 7

Vereinfache

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Löse

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Verschiebe

8 b^{2}

auf die linke Seite

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Subtrahiere

8 b^{2}

von beiden Seiten

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Vereinfache

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 7 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = b^{2}

und

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0 : u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 7}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 7}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 7 = 162

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 7

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 7 = 448

= 8^{2} + 448

8^{2} = 64

= 64 + 448

Addiere die Zahlen:

64 + 448 = 512

= 512

Primfaktorzerlegung von

512 : 2^{9}

512

512

ist durch

2512 = 256 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 256

256

ist durch

2256 = 128 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 128

128

ist durch

2128 = 64 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{9}

= 2^{9}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{8} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{8}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 2

Fasse zusammen

= 162

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16 2}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )} : - \frac{1 + 2 2}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 + 16 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8 + 16 2}{32}

Streiche

\frac{8 + 16 2}{32} : \frac{1 + 2 2}{4}

\frac{8 + 16 2}{32}

Faktorisiere

8 + 162 : 8 (1 + 22)

8 + 162

Schreibe um

= 8 \cdot 1 + 8 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (1 + 22)

= \frac{8 ( 1 + 2 2 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1 + 2 2}{4}

= - \frac{1 + 2 2}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )} : \frac{2 2 - 1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 - 16 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

8 - 162 = - (162 - 8)

= \frac{16 2 - 8}{32}

Faktorisiere

162 - 8 : 8 (22 - 1)

162 - 8

Schreibe um

= 8 \cdot 22 - 8 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (22 - 1)

= \frac{8 ( 2 2 - 1 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{2 2 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

Setze

u = b^{2} w i e d er e in,

löse für

b

Löse

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{4} :

Keine Lösung für

b \in R

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r b \in R

Löse

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{4} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

b = \frac{2 2 - 1}{4}, b = - \frac{2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 2 - 1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{2 2 - 1}{4} = - \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{2 2 - 1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{2 2 - 1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{2 2 - 1}{2}

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Die Lösungen sind

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

b = 0

Nimm den/die Nenner von

(\frac{7}{4 b})^{2} - b^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

b = 0

b = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

b = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Setze die Lösungen

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

2 ab = \frac{7}{2}

ein

Für

2 ab = \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{2 2 - 1}{2} : a = \frac{7}{2 2 2 - 1}

Für

2 ab = \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{2 2 - 1}{2}

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{7}{2}

Löse

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{7}{2} : a = \frac{7}{2 2 2 - 1}

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{7}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{7}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 \cdot 2 a \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{2 7}{2}

Vereinfache

2 a 22 - 1 = 7

2 a 22 - 1 = 7

Teile beide Seiten durch

2 22 - 1

2 a 22 - 1 = 7

Teile beide Seiten durch

2 22 - 1

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{7}{2 2 2 - 1}

Vereinfache

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}

Für

2 ab = \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{2 2 - 1}{2} : a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

Für

2 ab = \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{2 2 - 1}{2}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = \frac{7}{2}

Löse

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = \frac{7}{2} : a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{2 2 - 1}{2})

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{2 2 - 1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} = \frac{\frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} = \frac{\frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 a \frac{2 2 - 1}{2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- 2

= \frac{a \frac{2 2 - 1}{2}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

\frac{2 2 - 1}{2}

= a

Vereinfache

\frac{\frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

\frac{\frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

= \frac{7}{2 \cdot 2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 \cdot 2 (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

= \frac{7}{- 2 \cdot 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

2 \cdot 2 = 2^{2}

2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2 = 2^{1 + 1}

= 2^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= \frac{7}{- 2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = - \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}^{2} - (- \frac{2 2 - 1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2}

(\frac{7}{2 2 2 - 1})^{2} - (\frac{2 2 - 1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 ab = \frac{7}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = - \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

2 ab = \frac{7}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

2 - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} (- \frac{2 2 - 1}{2}) = \frac{7}{2}

Fasse zusammen

\frac{7}{2} = \frac{7}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

2 ab = \frac{7}{2}

Setze ein

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2}

2 \cdot \frac{7}{2 2 2 - 1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2} = \frac{7}{2}

Fasse zusammen

\frac{7}{2} = \frac{7}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = \frac{7}{2}

a = \frac{7}{2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}, b = \frac{2 2 - 1}{2} b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Setze in

u = a + bi

ein

u = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Löse

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2} : u = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

u^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Ersetze

u = a + bi

(a + bi)^{2} = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Schreibe

(a + bi)^{2}

um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab

(a + bi)^{2}

= (a + ib)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = a, b = bi

= a^{2} + 2 abi + (bi)^{2}

(bi)^{2} = - b^{2}

(bi)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= i^{2} b^{2}

i^{2} = - 1

i^{2}

Wende imaginäre Zahlenregel an:

i^{2} = - 1

= - 1

= (- 1) b^{2}

Fasse zusammen

= - b^{2}

= a^{2} + 2 iab - b^{2}

Schreibe

a^{2} + 2 iab - b^{2}

in der Standard komplexen Form um:

(a^{2} - b^{2}) + 2 abi

a^{2} + 2 iab - b^{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

= (a^{2} - b^{2}) + 2 abi

(a^{2} - b^{2}) + 2 iab = \frac{1}{2} - i \frac{7}{2}

Komplexe Zahlen können nur gleich sein wenn ihre realen und imaginären Teile gleich sind.Schreibe als Gleichungssystem um

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{7}{2}]

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{7}{2}] : a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = \frac{2 2 - 1}{2} b = - \frac{2 2 - 1}{2}

[a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} 2 ab = - \frac{7}{2}]

Stelle

a

nach

2 ab = - \frac{7}{2}

um:

a = - \frac{7}{4 b}

2 ab = - \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

2 ab = - \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 b

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{7}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} = \frac{- \frac{7}{2}}{2 b}

Vereinfache

\frac{2 ab}{2 b} : a

\frac{2 ab}{2 b}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{ab}{b}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b

= a

Vereinfache

\frac{- \frac{7}{2}}{2 b} : - \frac{7}{4 b}

\frac{- \frac{7}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{7}{2}}{2 b}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{7}{2}}{2 b} = \frac{7}{2 \cdot 2 b}

= - \frac{7}{2 \cdot 2 b}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{7}{4 b}

a = - \frac{7}{4 b}

a = - \frac{7}{4 b}

a = - \frac{7}{4 b}

Setze die Lösungen

a = - \frac{7}{4 b}

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

ein

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

- \frac{7}{4 b} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

, ersetze

a

mit

- \frac{7}{4 b}

(- \frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Löse

(- \frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

(- \frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

(- \frac{7}{4 b})^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

(- \frac{7}{4 b})^{2} : \frac{7}{16 b ^{2}}

(- \frac{7}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- \frac{7}{4 b})^{2} = (\frac{7}{4 b})^{2}

= (\frac{7}{4 b})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{( 4 b ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

(4 b)^{2} = 4^{2} b^{2}

= \frac{( 7 ) ^{2}}{4 ^{2} b ^{2}}

(7)^{2} : 7

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (7^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 7

= \frac{7}{4 ^{2} b ^{2}}

4^{2} = 16

= \frac{7}{16 b ^{2}}

\frac{7}{16 b ^{2}} - b^{2} = \frac{1}{2}

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

16 b^{2}, 2 : 16 b^{2}

16 b^{2}, 2

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

kleinstes gemeinsames Vielfache von

16, 2 : 16

16, 2

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

16 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

16

oder

2

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

16 b^{2}

oder

2

auftauchen.

= 16 b^{2}

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

16 b^{2}

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} - b^{2} \cdot 16 b^{2} = \frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Vereinfache

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2} : 7

\frac{7}{16 b ^{2}} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{7 \cdot 16 b ^{2}}{16 b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

16

= \frac{7 b ^{2}}{b ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

b^{2}

= 7

Vereinfache

- b^{2} \cdot 16 b^{2} : - 16 b^{4}

- b^{2} \cdot 16 b^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

b^{2} b^{2} = b^{2 + 2}

= - 16 b^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= - 16 b^{4}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2} : 8 b^{2}

\frac{1}{2} \cdot 16 b^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 16}{2} b^{2}

\frac{1 \cdot 16}{2} = 8

\frac{1 \cdot 16}{2}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 16 = 16

= \frac{16}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{16}{2} = 8

= 8

= 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Löse

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Verschiebe

8 b^{2}

auf die linke Seite

7 - 16 b^{4} = 8 b^{2}

Subtrahiere

8 b^{2}

von beiden Seiten

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 8 b^{2} - 8 b^{2}

Vereinfache

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

7 - 16 b^{4} - 8 b^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 16 b^{4} - 8 b^{2} + 7 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

u = b^{2}

und

u^{2} = b^{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Löse

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0 : u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 16 u^{2} - 8 u + 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 16, b = - 8, c = 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 7}{2 ( - 16 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 ( - 16 ) \cdot 7}{2 ( - 16 )}

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 7 = 162

(- 8)^{2} - 4 (- 16) \cdot 7

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 8)^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} + 4 \cdot 16 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 16 \cdot 7 = 448

= 8^{2} + 448

8^{2} = 64

= 64 + 448

Addiere die Zahlen:

64 + 448 = 512

= 512

Primfaktorzerlegung von

512 : 2^{9}

512

512

ist durch

2512 = 256 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 256

256

ist durch

2256 = 128 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 128

128

ist durch

2128 = 64 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 64

64

ist durch

264 = 32 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{9}

= 2^{9}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{8} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{8}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{8} = 2^{\frac{8}{2}} = 2^{4}

= 2^{4} 2

Fasse zusammen

= 162

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 16 2}{2 ( - 16 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )}

u = \frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )} : - \frac{1 + 2 2}{4}

\frac{- ( - 8 ) + 16 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 + 16 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 + 16 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8 + 16 2}{32}

Streiche

\frac{8 + 16 2}{32} : \frac{1 + 2 2}{4}

\frac{8 + 16 2}{32}

Faktorisiere

8 + 162 : 8 (1 + 22)

8 + 162

Schreibe um

= 8 \cdot 1 + 8 \cdot 22

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (1 + 22)

= \frac{8 ( 1 + 2 2 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{1 + 2 2}{4}

= - \frac{1 + 2 2}{4}

u = \frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )} : \frac{2 2 - 1}{4}

\frac{- ( - 8 ) - 16 2}{2 ( - 16 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{8 - 16 2}{- 2 \cdot 16}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 16 = 32

= \frac{8 - 16 2}{- 32}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

8 - 162 = - (162 - 8)

= \frac{16 2 - 8}{32}

Faktorisiere

162 - 8 : 8 (22 - 1)

162 - 8

Schreibe um

= 8 \cdot 22 - 8 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

8

= 8 (22 - 1)

= \frac{8 ( 2 2 - 1 )}{32}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= \frac{2 2 - 1}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

u = - \frac{1 + 2 2}{4}, u = \frac{2 2 - 1}{4}

Setze

u = b^{2} w i e d er e in,

löse für

b

Löse

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{4} :

Keine Lösung für

b \in R

b^{2} = - \frac{1 + 2 2}{4}

x^{2}

kann nicht negativ sein für

x \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r b \in R

Löse

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{4} : b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

b^{2} = \frac{2 2 - 1}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

b = \frac{2 2 - 1}{4}, b = - \frac{2 2 - 1}{4}

\frac{2 2 - 1}{4} = \frac{2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= \frac{2 2 - 1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{2 2 - 1}{4} = - \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{2 2 - 1}{4}

Wende Radikal Regel an:

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

= - \frac{2 2 - 1}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

a^{2} = a, a \geq 0

2^{2} = 2

= 2

= - \frac{2 2 - 1}{2}

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Die Lösungen sind

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

b = 0

Nimm den/die Nenner von

(- \frac{7}{4 b})^{2} - b^{2}

und vergleiche mit Null

Löse

4 b = 0 : b = 0

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

4 b = 0

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 b}{4} = \frac{0}{4}

Vereinfache

b = 0

b = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

b = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Setze die Lösungen

b = \frac{2 2 - 1}{2}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

2 ab = - \frac{7}{2}

ein

Für

2 ab = - \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{2 2 - 1}{2} : a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}

Für

2 ab = - \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

\frac{2 2 - 1}{2}

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = - \frac{7}{2}

Löse

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = - \frac{7}{2} : a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = - \frac{7}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 a \frac{2 2 - 1}{2} = - \frac{7}{2}

Multipliziere beide Seiten mit

2

2 \cdot 2 a \frac{2 2 - 1}{2} = 2 (- \frac{7}{2})

Vereinfache

2 \cdot 2 a \frac{2 2 - 1}{2} = 2 (- \frac{7}{2})

Vereinfache

2 \cdot 2 a \frac{2 2 - 1}{2} : 2 a 22 - 1

2 \cdot 2 a \frac{2 2 - 1}{2}

2 \cdot 2 = 2^{2}

2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

2 \cdot 2 = 2^{1 + 1}

= 2^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2^{2}

= 2^{2} a \frac{2 2 - 1}{2}

Wende Bruchregel an:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ^{2} a 2 2 - 1}{2}

Streiche

\frac{2 ^{2} a 2 2 - 1}{2} : 2 a 22 - 1

\frac{2 ^{2} a 2 2 - 1}{2}

\frac{2 ^{2}}{2} = 2

\frac{2 ^{2}}{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

2^{2} = 2 \cdot 2

= \frac{2 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 2

= 2 a 22 - 1

= 2 a 22 - 1

Vereinfache

2 (- \frac{7}{2}) : - 7

2 (- \frac{7}{2})

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{7}{2}) = - 2 \cdot \frac{7}{2}

= - 2 \cdot \frac{7}{2}

Convert

2

to fraction

: \frac{2}{1}

2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1}

= - \frac{2}{1} \cdot \frac{7}{2}

kürze gemeinsame Faktoren über Kreuz:

2

= - \frac{7}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

= - 7

2 a 22 - 1 = - 7

2 a 22 - 1 = - 7

2 a 22 - 1 = - 7

Teile beide Seiten durch

2 22 - 1

2 a 22 - 1 = - 7

Teile beide Seiten durch

2 22 - 1

\frac{2 a 2 2 - 1}{2 2 2 - 1} = \frac{- 7}{2 2 2 - 1}

Vereinfache

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}

Für

2 ab = - \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{2 2 - 1}{2} : a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

Für

2 ab = - \frac{7}{2}

, ersetze

b

mit

- \frac{2 2 - 1}{2}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - \frac{7}{2}

Löse

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - \frac{7}{2} : a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{2 2 - 1}{2})

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - \frac{7}{2}

Teile beide Seiten durch

2 (- \frac{2 2 - 1}{2})

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} = \frac{- \frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} = \frac{- \frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : a

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Vereinfache

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

\frac{2 a ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 a (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 a \frac{2 2 - 1}{2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

= \frac{- 2 a \frac{2 2 - 1}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

- 2

= \frac{a \frac{2 2 - 1}{2}}{\frac{2 2 - 1}{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

\frac{2 2 - 1}{2}

= a

Vereinfache

\frac{- \frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )} : - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

\frac{- \frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{7}{2}}{2 ( - \frac{2 2 - 1}{2} )}

Apply rule:

a (- b) = - ab

2 (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

= - \frac{\frac{7}{2}}{- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}}

- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2} = - 22 - 1

- 2 \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

Convert

2

to fraction

: \frac{2}{1}

2

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1}

= - \frac{2}{1} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

kürze gemeinsame Faktoren über Kreuz:

2

= - \frac{2 2 - 1}{1}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{1} = a

\frac{2 2 - 1}{1} = 22 - 1

= - 22 - 1

= - \frac{\frac{7}{2}}{- 2 2 - 1}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{a}{b \cdot c}

\frac{\frac{7}{2}}{- 2 2 - 1} = \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

= - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}

Verifiziere die Lösungen, in dem du sie in die Original-Gleichungen einsetzt.

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = - \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

- \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}^{2} - (- \frac{2 2 - 1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2}

(- \frac{7}{2 2 2 - 1})^{2} - (\frac{2 2 - 1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

Fasse zusammen

\frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 ab = - \frac{7}{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = - \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

2 ab = - \frac{7}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = - \frac{2 2 - 1}{2}

2 - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} (- \frac{2 2 - 1}{2}) = - \frac{7}{2}

Fasse zusammen

- \frac{7}{2} = - \frac{7}{2}

Wahr

Überprüfe die Lösung

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2} :

Wahr

2 ab = - \frac{7}{2}

Setze ein

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, b = \frac{2 2 - 1}{2}

2 (- \frac{7}{2 2 2 - 1}) \frac{2 2 - 1}{2} = - \frac{7}{2}

Fasse zusammen

- \frac{7}{2} = - \frac{7}{2}

Wahr

Deshalb sind die finalen Lösungen für

a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}, 2 ab = - \frac{7}{2}

a = - \frac{7}{2 2 2 - 1}, a = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )}, b = \frac{2 2 - 1}{2} b = - \frac{2 2 - 1}{2}

Setze in

u = a + bi

ein

u = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Die Lösungen sind

u = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, u = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

cos (x) = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i, cos (x) = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

cos (x) = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i

Vereinfache

\frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i : \frac{7 ( - 1 + 2 2 + 2 - 2 + 4 2 )}{14} + i \frac{- 1 + 2 2}{2}

\frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7}{2 2 2 - 1} = \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

\frac{7}{2 2 2 - 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{7 2 2 - 1}{2 2 2 - 1 2 2 - 1}

2 22 - 1 22 - 1 = 42 - 2

2 22 - 1 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= \frac{7 2 2 - 1}{4 2 - 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{4 2 + 2}{4 2 + 2}

= \frac{7 2 2 - 1 ( 4 2 + 2 )}{( 4 2 - 2 ) ( 4 2 + 2 )}

(42 - 2) (42 + 2) = 28

(42 - 2) (42 + 2)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 42, b = 2

= (42)^{2} - 2^{2}

Vereinfache

(42)^{2} - 2^{2} : 28

(42)^{2} - 2^{2}

(42)^{2} = 32

(42)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 4^{2} \cdot 2

4^{2} = 16

= 16 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 2 = 32

= 32

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= 32 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 4 = 28

= 28

= 28

= \frac{7 ( 4 2 + 2 ) 2 2 - 1}{28}

Faktorisiere

42 + 2 : 2 (22 + 1)

42 + 2

Schreibe um

= 2 \cdot 22 + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (22 + 1)

= \frac{7 \cdot 2 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + i \frac{2 2 - 1}{2}

Schreibe

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

in der Standard komplexen Form um:

\frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} = \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

Faktorisiere

14 : 2 \cdot 7

Faktorisiere

14 = 2 \cdot 7

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Streiche

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7} : \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

7 = 7^{\frac{1}{2}}

= \frac{7 ^{\frac{1}{2}} ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{7 ^{\frac{1}{2}}}{7 ^{1}} = \frac{1}{7 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{- \frac{1}{2} + 1}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

7^{\frac{1}{2}} = 7

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere aus

(22 + 1) 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

(22 + 1) 22 - 1

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 22, c = 1

= 22 - 1 \cdot 22 + 22 - 1 \cdot 1

= 22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

Vereinfache

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

22 22 - 1 = 2 42 - 2

22 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

2 22 - 1 = 2 (22 - 1)

= 2 2 (22 - 1)

Multipliziere aus

2 (22 - 1) : 42 - 2

2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= 2 42 - 2

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

1 \cdot 22 - 1

Multipliziere:

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

= 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{2 2 - 1}{2} i = \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{2} i

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2}

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} = \frac{2 4 2 - 2}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

= \frac{2 4 2 - 2}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7} = \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{4 2 - 2}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{4 2 - 2}{7}

= \frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= \frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} = \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

\frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

\frac{4 2 - 2}{7} = \frac{\frac{4 \cdot 2 - 2}{7} 2 7}{2 7}

= \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27 = 2 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

7 \frac{4 2 - 2}{7} = 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

= 2 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7 = 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 4 2 - 2 ) \cdot 7}{7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= 42 - 2

= 2 42 - 2

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

Rationalisiere

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} : \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{7}{7}

= \frac{( 4 2 - 2 \cdot 2 + 2 2 - 1 ) 7}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Vereinfache

- \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i : \frac{7 ( - - 1 + 2 2 - 2 - 2 + 4 2 )}{14} - i \frac{- 1 + 2 2}{2}

- \frac{7}{2 ^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Multipliziere

2^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2} : 2 22 - 1

2^{2} \cdot \frac{2 2 - 1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 \cdot 2 ^{2}}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 2 22 - 1

= - \frac{7}{2 2 2 - 1} - i \frac{2 2 - 1}{2}

\frac{7}{2 2 2 - 1} = \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

\frac{7}{2 2 2 - 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{7 2 2 - 1}{2 2 2 - 1 2 2 - 1}

2 22 - 1 22 - 1 = 42 - 2

2 22 - 1 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= \frac{7 2 2 - 1}{4 2 - 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{4 2 + 2}{4 2 + 2}

= \frac{7 2 2 - 1 ( 4 2 + 2 )}{( 4 2 - 2 ) ( 4 2 + 2 )}

(42 - 2) (42 + 2) = 28

(42 - 2) (42 + 2)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 42, b = 2

= (42)^{2} - 2^{2}

Vereinfache

(42)^{2} - 2^{2} : 28

(42)^{2} - 2^{2}

(42)^{2} = 32

(42)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 4^{2} \cdot 2

4^{2} = 16

= 16 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 2 = 32

= 32

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= 32 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 4 = 28

= 28

= 28

= \frac{7 ( 4 2 + 2 ) 2 2 - 1}{28}

Faktorisiere

42 + 2 : 2 (22 + 1)

42 + 2

Schreibe um

= 2 \cdot 22 + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (22 + 1)

= \frac{7 \cdot 2 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

= - \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - i \frac{2 2 - 1}{2}

Schreibe

- \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

in der Standard komplexen Form um:

\frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

- \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} = \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

Faktorisiere

14 : 2 \cdot 7

Faktorisiere

14 = 2 \cdot 7

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Streiche

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7} : \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

7 = 7^{\frac{1}{2}}

= \frac{7 ^{\frac{1}{2}} ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{7 ^{\frac{1}{2}}}{7 ^{1}} = \frac{1}{7 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{- \frac{1}{2} + 1}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

7^{\frac{1}{2}} = 7

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere aus

(22 + 1) 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

(22 + 1) 22 - 1

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 22, c = 1

= 22 - 1 \cdot 22 + 22 - 1 \cdot 1

= 22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

Vereinfache

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

22 22 - 1 = 2 42 - 2

22 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

2 22 - 1 = 2 (22 - 1)

= 2 2 (22 - 1)

Multipliziere aus

2 (22 - 1) : 42 - 2

2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= 2 42 - 2

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

1 \cdot 22 - 1

Multipliziere:

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

= 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{2 2 - 1}{2} i = \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{2} i

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2}

= - \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} = - (\frac{2 4 2 - 2}{2 7}) - (\frac{2 2 - 1}{2 7})

= - (\frac{2 4 2 - 2}{2 7}) - (\frac{2 2 - 1}{2 7}) - \frac{i 2 2 - 1}{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{2 4 2 - 2}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7} = \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{4 2 - 2}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{4 2 - 2}{7}

= - \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= - \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2} i

- \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} = \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

- \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

\frac{4 2 - 2}{7} = \frac{\frac{4 \cdot 2 - 2}{7} 2 7}{2 7}

= - \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2 7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- \frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7 - 2 2 - 1}{2 7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27 = 2 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

7 \frac{4 2 - 2}{7} = 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

= 2 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7 = 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 4 2 - 2 ) \cdot 7}{7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= 42 - 2

= 2 42 - 2

= \frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7}

Rationalisiere

\frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7} : \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

\frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{7}{7}

= \frac{( - 4 2 - 2 \cdot 2 - 2 2 - 1 ) 7}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i

Vereinfache

- \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i : \frac{7 ( - - 1 + 2 2 - 2 - 2 + 4 2 )}{14} + i \frac{- 1 + 2 2}{2}

- \frac{7}{2 2 2 - 1} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7}{2 2 2 - 1} = \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

\frac{7}{2 2 2 - 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{7 2 2 - 1}{2 2 2 - 1 2 2 - 1}

2 22 - 1 22 - 1 = 42 - 2

2 22 - 1 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= \frac{7 2 2 - 1}{4 2 - 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{4 2 + 2}{4 2 + 2}

= \frac{7 2 2 - 1 ( 4 2 + 2 )}{( 4 2 - 2 ) ( 4 2 + 2 )}

(42 - 2) (42 + 2) = 28

(42 - 2) (42 + 2)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 42, b = 2

= (42)^{2} - 2^{2}

Vereinfache

(42)^{2} - 2^{2} : 28

(42)^{2} - 2^{2}

(42)^{2} = 32

(42)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 4^{2} \cdot 2

4^{2} = 16

= 16 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 2 = 32

= 32

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= 32 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 4 = 28

= 28

= 28

= \frac{7 ( 4 2 + 2 ) 2 2 - 1}{28}

Faktorisiere

42 + 2 : 2 (22 + 1)

42 + 2

Schreibe um

= 2 \cdot 22 + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (22 + 1)

= \frac{7 \cdot 2 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

= - \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + i \frac{2 2 - 1}{2}

Schreibe

- \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

in der Standard komplexen Form um:

\frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

- \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} = \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

Faktorisiere

14 : 2 \cdot 7

Faktorisiere

14 = 2 \cdot 7

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Streiche

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7} : \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

7 = 7^{\frac{1}{2}}

= \frac{7 ^{\frac{1}{2}} ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{7 ^{\frac{1}{2}}}{7 ^{1}} = \frac{1}{7 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{- \frac{1}{2} + 1}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

7^{\frac{1}{2}} = 7

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere aus

(22 + 1) 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

(22 + 1) 22 - 1

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 22, c = 1

= 22 - 1 \cdot 22 + 22 - 1 \cdot 1

= 22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

Vereinfache

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

22 22 - 1 = 2 42 - 2

22 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

2 22 - 1 = 2 (22 - 1)

= 2 2 (22 - 1)

Multipliziere aus

2 (22 - 1) : 42 - 2

2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= 2 42 - 2

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

1 \cdot 22 - 1

Multipliziere:

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

= 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{2 2 - 1}{2} i = \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{2} i

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2}

= - \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} = - (\frac{2 4 2 - 2}{2 7}) - (\frac{2 2 - 1}{2 7})

= - (\frac{2 4 2 - 2}{2 7}) - (\frac{2 2 - 1}{2 7}) + \frac{i 2 2 - 1}{2}

Entferne die Klammern:

(a) = a

= - \frac{2 4 2 - 2}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7} = \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{4 2 - 2}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{4 2 - 2}{7}

= - \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{i 2 2 - 1}{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= - \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2} i

- \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7} = \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

- \frac{4 2 - 2}{7} - \frac{2 2 - 1}{2 7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

\frac{4 2 - 2}{7} = \frac{\frac{4 \cdot 2 - 2}{7} 2 7}{2 7}

= - \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2 7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- \frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7 - 2 2 - 1}{2 7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27 = 2 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

7 \frac{4 2 - 2}{7} = 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

= 2 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7 = 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 4 2 - 2 ) \cdot 7}{7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= 42 - 2

= 2 42 - 2

= \frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7}

Rationalisiere

\frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7} : \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

\frac{- 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{7}{7}

= \frac{( - 4 2 - 2 \cdot 2 - 2 2 - 1 ) 7}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

= \frac{7 ( - 2 4 2 - 2 - 2 2 - 1 )}{14} + \frac{2 2 - 1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Vereinfache

- \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i : \frac{7 ( - 1 + 2 2 + 2 - 2 + 4 2 )}{14} - i \frac{- 1 + 2 2}{2}

- \frac{7}{2 ( - 2 2 - 1 )} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - \frac{7}{- 2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - (- \frac{7}{2 2 2 - 1}) - i \frac{2 2 - 1}{2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{7}{2 2 2 - 1} - \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7}{2 2 2 - 1} = \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

\frac{7}{2 2 2 - 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2 2 - 1}{2 2 - 1}

= \frac{7 2 2 - 1}{2 2 2 - 1 2 2 - 1}

2 22 - 1 22 - 1 = 42 - 2

2 22 - 1 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 - 1 22 - 1 = 22 - 1

= 2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= \frac{7 2 2 - 1}{4 2 - 2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{4 2 + 2}{4 2 + 2}

= \frac{7 2 2 - 1 ( 4 2 + 2 )}{( 4 2 - 2 ) ( 4 2 + 2 )}

(42 - 2) (42 + 2) = 28

(42 - 2) (42 + 2)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 42, b = 2

= (42)^{2} - 2^{2}

Vereinfache

(42)^{2} - 2^{2} : 28

(42)^{2} - 2^{2}

(42)^{2} = 32

(42)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 4^{2} (2)^{2}

(2)^{2} : 2

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (2^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 2

= 4^{2} \cdot 2

4^{2} = 16

= 16 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 2 = 32

= 32

2^{2} = 4

2^{2}

2^{2} = 4

= 4

= 32 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

32 - 4 = 28

= 28

= 28

= \frac{7 ( 4 2 + 2 ) 2 2 - 1}{28}

Faktorisiere

42 + 2 : 2 (22 + 1)

42 + 2

Schreibe um

= 2 \cdot 22 + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (22 + 1)

= \frac{7 \cdot 2 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{28}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - i \frac{2 2 - 1}{2}

Schreibe

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

in der Standard komplexen Form um:

\frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14} = \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{14}

Faktorisiere

14 : 2 \cdot 7

Faktorisiere

14 = 2 \cdot 7

= \frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Streiche

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7} : \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

\frac{7 ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

7 = 7^{\frac{1}{2}}

= \frac{7 ^{\frac{1}{2}} ( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{7 ^{\frac{1}{2}}}{7 ^{1}} = \frac{1}{7 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{- \frac{1}{2} + 1}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 \cdot 7 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

7^{\frac{1}{2}} = 7

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

= \frac{( 2 2 + 1 ) 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere aus

(22 + 1) 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

(22 + 1) 22 - 1

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 22 - 1, b = 22, c = 1

= 22 - 1 \cdot 22 + 22 - 1 \cdot 1

= 22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

Vereinfache

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1 : 2 42 - 2 + 22 - 1

22 22 - 1 + 1 \cdot 22 - 1

22 22 - 1 = 2 42 - 2

22 22 - 1

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

2 22 - 1 = 2 (22 - 1)

= 2 2 (22 - 1)

Multipliziere aus

2 (22 - 1) : 42 - 2

2 (22 - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 22, c = 1

= 2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1 : 42 - 2

2 \cdot 22 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 42 - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 42 - 2

= 42 - 2

= 2 42 - 2

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

1 \cdot 22 - 1

Multipliziere:

1 \cdot 22 - 1 = 22 - 1

= 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= 2 42 - 2 + 22 - 1

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{2 2 - 1}{2} i = \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 2 - 1}{2} i

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 2 - 1 i}{2}

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} = \frac{2 4 2 - 2}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

= \frac{2 4 2 - 2}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7} = \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{2 4 2 - 2}{2 7}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{4 2 - 2}{7}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{4 2 - 2}{7}

= \frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{i 2 2 - 1}{2}

Gruppiere den realen Teil und imaginären Teil der komplexen Zahl

= \frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} - \frac{2 2 - 1}{2} i

\frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7} = \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

\frac{4 2 - 2}{7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

Wandle das Element in einen Bruch um:

\frac{4 2 - 2}{7} = \frac{\frac{4 \cdot 2 - 2}{7} 2 7}{2 7}

= \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7}{2 7} + \frac{2 2 - 1}{2 7}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 2 7 + 2 2 - 1}{2 7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27 = 2 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 27

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

7 \frac{4 2 - 2}{7} = 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

= 2 7 \cdot \frac{4 2 - 2}{7}

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7 = 42 - 2

\frac{4 2 - 2}{7} \cdot 7

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 4 2 - 2 ) \cdot 7}{7}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

7

= 42 - 2

= 2 42 - 2

= \frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

Rationalisiere

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7} : \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

\frac{2 4 2 - 2 + 2 2 - 1}{2 7}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{7}{7}

= \frac{( 4 2 - 2 \cdot 2 + 2 2 - 1 ) 7}{2 7 7}

277 = 14

277

Wende Radikal Regel an:

a a = a

77 = 7

= 2 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= 14

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14}

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

= \frac{7 ( 2 4 2 - 2 + 2 2 - 1 )}{14} - \frac{2 2 - 1}{2} i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(7)*sin^2(x)+cos^2(x)-1=6sin(x)

7 \cdot sin^{2} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 6 sin (x)

4sec^2(x)-3tan^2(x)=5tan^2(x)

4 sec^{2} (x) - 3 tan^{2} (x) = 5 tan^{2} (x)

cos^3(x)=66

cos^{3} (x) = 66

2sqrt(3)*sin(4x+60^0)-3=0

23 \cdot sin (4 x + 6 0^{0}) - 3 = 0

(sin(x)+sin^2(x))/2 =0.5

\frac{sin ( x ) + sin ^{2} ( x )}{2} = 0.5