English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

3sin(x)-4sin^3(x)=1-2sin^2(x)

Решение

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Решение

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Градусы

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 1 8^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 16 2^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 5 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 23 4^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Шаги решения

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Решитe подстановкой

3 sin (x) - 4 sin^{3} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

Допустим:

sin (x) = u

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2} : u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Переместите

2 u^{2}

влево

3 u - 4 u^{3} = 1 - 2 u^{2}

Добавьте

2 u^{2}

к обеим сторонам

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1 - 2 u^{2} + 2 u^{2}

После упрощения получаем

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Переместите

1

влево

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} = 1

Вычтите

1

с обеих сторон

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 1 - 1

После упрощения получаем

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

3 u - 4 u^{3} + 2 u^{2} - 1 = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 = 0

Найдите множитель

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1 : - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- 4 u^{3} + 2 u^{2} + 3 u - 1

Убрать общее значение

- 1

= - (4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1)

коэффициент

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1 : (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 4

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1, 2, 4

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + 2 u - 1

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Частное = 4 u^{2}

Умножьте

u - 1

на

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Вычтите

4 u^{3} - 4 u^{2}

из

4 u^{3} - 2 u^{2} - 3 u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 2 u^{2} - 3 u + 1

Поэтому

\frac{4 u ^{3} - 2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{2} - 3 u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{2 u ^{2}}{u} = 2 u

Частное = 2 u

Умножьте

u - 1

на

2 u : 2 u^{2} - 2 u

Вычтите

2 u^{2} - 2 u

из

2 u^{2} - 3 u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - u + 1

Поэтому

\frac{2 u ^{2} - 3 u + 1}{u - 1} = 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= 4 u^{2} + 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

- u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Частное = - 1

Умножьте

u - 1

на

- 1 : - u + 1

Вычтите

- u + 1

из

- u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= 4 u^{2} + 2 u - 1

= (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

= - (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1)

- (u - 1) (4 u^{2} + 2 u - 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 1 = 0 or 4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

4 u^{2} + 2 u - 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 4, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 25

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Примените правило

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 2^{2} + 16

2^{2} = 4

= 4 + 16

Добавьте числа:

4 + 16 = 20

= 20

Первичное разложение на множители

20 : 2^{2} \cdot 5

20

20

делится на

220 = 10 \cdot 2

= 2 \cdot 10

10

делится на

210 = 5 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 5

2, 5

являеются простыми числами, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно

= 2 \cdot 2 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

= 2^{2} \cdot 5

Примените правило радикалов:

n ab = n a n b

= 5 2^{2}

Примените правило радикалов:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 25

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 5}{2 \cdot 4}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4} : \frac{- 1 + 5}{4}

\frac{- 2 + 2 5}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 + 2 5}{8}

коэффициент

- 2 + 25 : 2 (- 1 + 5)

- 2 + 25

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 + 25

Убрать общее значение

2

= 2 (- 1 + 5)

= \frac{2 ( - 1 + 5 )}{8}

Отмените общий множитель:

2

= \frac{- 1 + 5}{4}

u = \frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4} : - \frac{1 + 5}{4}

\frac{- 2 - 2 5}{2 \cdot 4}

Перемножьте числа:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 2 - 2 5}{8}

коэффициент

- 2 - 25 : - 2 (1 + 5)

- 2 - 25

Перепишите как

= - 2 \cdot 1 - 25

Убрать общее значение

2

= - 2 (1 + 5)

= - \frac{2 ( 1 + 5 )}{8}

Отмените общий множитель:

2

= - \frac{1 + 5}{4}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Решениями являются

u = 1, u = \frac{- 1 + 5}{4}, u = - \frac{1 + 5}{4}

Делаем обратную замену

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1, sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}, sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Общие решения для

sin (x) = 1

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4} : x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

Общие решения для

sin (x) = \frac{- 1 + 5}{4}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4} : x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Примените обратные тригонометрические свойства

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

Общие решения для

sin (x) = - \frac{1 + 5}{4}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Объедините все решения

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{- 1 + 5}{4}) + 2 πn, x = arcsin (- \frac{1 + 5}{4}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{1 + 5}{4}) + 2 πn

Покажите решения в десятичной форме

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = 0.31415 \dots + 2 πn, x = π - 0.31415 \dots + 2 πn, x = - 0.94247 \dots + 2 πn, x = π + 0.94247 \dots + 2 πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры