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Beliebt Trigonometrie >

tanh(0.5)

Lösung

tanh (0.5)

Lösung

\frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

Dezimale

0.46211 \dots

Schritte zur Lösung

tanh (0.5)

= tanh (\frac{1}{2})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

tanh (\frac{1}{2})

Hyperbolische Identität anwenden:

tanh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} - e ^{- \frac{1}{2}}}{e ^{\frac{1}{2}} + e ^{- \frac{1}{2}}}

\frac{e ^{\frac{1}{2}} - e ^{- \frac{1}{2}}}{e ^{\frac{1}{2}} + e ^{- \frac{1}{2}}} = \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

\frac{e ^{\frac{1}{2}} - e ^{- \frac{1}{2}}}{e ^{\frac{1}{2}} + e ^{- \frac{1}{2}}}

Wende Exponentenregel an:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{e}}{e ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{e}}

Füge

e^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{e}

zusammen:

\frac{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e}

e^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{e}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e^{\frac{1}{2}} = \frac{e ^{\frac{1}{2}} e}{e}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} e}{e} + \frac{1}{e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{e}}{\frac{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e}}

Füge

e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{e}

zusammen:

\frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e}

e^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{e}

Wandle das Element in einen Bruch um:

e^{\frac{1}{2}} = \frac{e ^{\frac{1}{2}} e}{e}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} e}{e} - \frac{1}{e}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e}

= \frac{\frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e}}{\frac{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( e ^{\frac{1}{2}} e - 1 ) e}{e ( e ^{\frac{1}{2}} e + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

e

= \frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}

Rationalisiere

\frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e ^{\frac{1}{2}} e + 1} : \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

\frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e ^{\frac{1}{2}} e + 1}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}{e ^{\frac{1}{2}} e - 1}

= \frac{( e ^{\frac{1}{2}} e - 1 ) ( e ^{\frac{1}{2}} e - 1 )}{( e ^{\frac{1}{2}} e + 1 ) ( e ^{\frac{1}{2}} e - 1 )}

(e^{\frac{1}{2}} e - 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1) = e^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e + 1

(e^{\frac{1}{2}} e - 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(e^{\frac{1}{2}} e - 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1) = (e^{\frac{1}{2}} e - 1)^{1 + 1}

= (e^{\frac{1}{2}} e - 1)^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= (e^{\frac{1}{2}} e - 1)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = e^{\frac{1}{2}} e, b = 1

= (e^{\frac{1}{2}} e)^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e \cdot 1 + 1^{2}

Vereinfache

(e^{\frac{1}{2}} e)^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e \cdot 1 + 1^{2} : e^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e + 1

(e^{\frac{1}{2}} e)^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e \cdot 1 + 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= (e^{\frac{1}{2}} e)^{2} - 2 \cdot 1 \cdot e^{\frac{1}{2}} e + 1

(e^{\frac{1}{2}} e)^{2} = e^{2}

(e^{\frac{1}{2}} e)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= (e)^{2} (e^{\frac{1}{2}})^{2}

(e^{\frac{1}{2}})^{2} : e

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= e

= e (e)^{2}

(e)^{2} : e

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (e^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= e^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= e

= ee

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

ee = e^{1 + 1}

= e^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= e^{2}

2 e^{\frac{1}{2}} e \cdot 1 = 2 e^{\frac{1}{2}} e

2 e^{\frac{1}{2}} e \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 e^{\frac{1}{2}} e

= e^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e + 1

= e^{2} - 2 e^{\frac{1}{2}} e + 1

(e^{\frac{1}{2}} e + 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1) = e^{2} - 1

(e^{\frac{1}{2}} e + 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1)

e^{\frac{1}{2}} e = e

e^{\frac{1}{2}} e

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{\frac{1}{2}} e = e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= e^{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= e^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= e

= (e + 1) (e^{\frac{1}{2}} e - 1)

e^{\frac{1}{2}} e = e

e^{\frac{1}{2}} e

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

e^{\frac{1}{2}} e = e^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

= e^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2}

= e^{2 \cdot \frac{1}{2}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{1}{2} : 1

2 \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= e^{1}

Wende Regel an

a^{1} = a

= e

= (e + 1) (e - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = e, b = 1

= e^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= e^{2} - 1

= \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

= \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

= \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

= \frac{e ^{2} - 2 e ^{\frac{1}{2}} e + 1}{e ^{2} - 1}

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