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4sin(x)-3cos(x)=5

解

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

解

x = 2.21429 \dots + 2 πn

+1

度

x = 126.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

両辺に

3 cos (x)

を足す

4 sin (x) = 5 + 3 cos (x)

両辺を2乗する

(4 sin (x))^{2} = (5 + 3 cos (x))^{2}

両辺から

(5 + 3 cos (x))^{2}

を引く

16 sin^{2} (x) - 25 - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 25 + 16 sin^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

拡張

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

数を乗じる:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

簡素化

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) : - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 25 + 16 - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x)

条件のようなグループ

= - 16 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 25 + 16

類似した元を足す:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 25 + 16

数を足す/引く:

- 25 + 16 = - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

= - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) - 9

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

置換で解く

- 9 - 25 cos^{2} (x) - 30 cos (x) = 0

仮定:

cos (x) = u

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0 : u = - \frac{3}{5}

- 9 - 25 u^{2} - 30 u = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

解くとthe二次式

- 25 u^{2} - 30 u - 9 = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 25, b = - 30, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm ( - 30 ) ^{2} - 4 ( - 25 ) ( - 9 )}{2 ( - 25 )}

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9) = 0

(- 30)^{2} - 4 (- 25) (- 9)

規則を適用

- (- a) = a

= (- 30)^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

指数の規則を適用する:

n

が偶数であれば

(- a)^{n} = a^{n}

(- 30)^{2} = 3 0^{2}

= 3 0^{2} - 4 \cdot 25 \cdot 9

数を乗じる:

4 \cdot 25 \cdot 9 = 900

= 3 0^{2} - 900

3 0^{2} = 900

= 900 - 900

数を引く:

900 - 900 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 30 ) \pm 0}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )} = - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 30 )}{2 ( - 25 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{30}{- 2 \cdot 25}

数を乗じる:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{30}{- 50}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{30}{50}

共通因数を約分する:

10

= - \frac{3}{5}

u = - \frac{3}{5}

二次equationの解:

u = - \frac{3}{5}

代用を戻す

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (x) = - \frac{3}{5}

以下の一般解

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

真

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

の挿入向け

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

5 = 5

\Rightarrow 真

解答を確認する

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn :

偽

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

挿入

n = 1

- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (x) - 3 cos (x) = 5

の挿入向け

x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1

4 sin (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) - 3 cos (- arccos (- \frac{3}{5}) + 2 π 1) = 5

改良

- 1.4 = 5

\Rightarrow 偽

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

10進法形式で解を証明する

x = 2.21429 \dots + 2 πn

人気の例

solvefor x,3sin^2(x)=cos^2(x)解く

x, 3 sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

cos (4 0^{\circ})

2sin(2x)=sin(x)

2 sin (2 x) = sin (x)

sin (\frac{11 π}{4})

arccos (\frac{4}{5})