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Popular >

sin(x)*cos^2(x)=1

Solução

sin (x) \cdot cos^{2} (x) = 1

Solução

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

sin (x) cos^{2} (x) = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

cos^{2} (x) sin (x) - 1 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 1 + cos^{2} (x) sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 1 + (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

- 1 + (1 - sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Usando o método de substituição

- 1 + (1 - sin^{2} (x)) sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

- 1 + (1 - u^{2}) u = 0

- 1 + (1 - u^{2}) u = 0 : u \approx - 1.32471 \dots

- 1 + (1 - u^{2}) u = 0

Expandir

- 1 + (1 - u^{2}) u : - 1 + u - u^{3}

- 1 + (1 - u^{2}) u

= - 1 + u (1 - u^{2})

Expandir

u (1 - u^{2}) : u - u^{3}

u (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = u, b = 1, c = u^{2}

= u \cdot 1 - u u^{2}

= 1 \cdot u - u^{2} u

Simplificar

1 \cdot u - u^{2} u : u - u^{3}

1 \cdot u - u^{2} u

1 \cdot u = u

1 \cdot u

Multiplicar:

1 \cdot u = u

= u

u^{2} u = u^{3}

u^{2} u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= u^{2 + 1}

Somar:

2 + 1 = 3

= u^{3}

= u - u^{3}

= u - u^{3}

= - 1 + u - u^{3}

- 1 + u - u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{3} + u - 1 = 0

Encontrar uma solução para

- u^{3} + u - 1 = 0

utilizando o método de Newton-Raphson:

u \approx - 1.32471 \dots

- u^{3} + u - 1 = 0

Definição de método de Newton-Raphson

f (u) = - u^{3} + u - 1

Encontrar

f^{^{'}} (u) : - 3 u^{2} + 1

\frac{d}{d u} (- u^{3} + u - 1)

Aplicar a regra da soma/diferença:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d u} (u^{3}) + \frac{d u}{d u} - \frac{d}{d u} (1)

\frac{d}{d u} (u^{3}) = 3 u^{2}

\frac{d}{d u} (u^{3})

Aplicar a regra da potência:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 3 u^{3 - 1}

Simplificar

= 3 u^{2}

\frac{d u}{d u} = 1

\frac{d u}{d u}

Aplicar a regra da derivação:

\frac{d u}{d u} = 1

= 1

\frac{d}{d u} (1) = 0

\frac{d}{d u} (1)

Derivada de uma constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 3 u^{2} + 1 - 0

Simplificar

= - 3 u^{2} + 1

Seja

u_{0} = - 1

Calcular

u_{n + 1}

até que

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = - 1.5 : Δ u_{1} = 0.5

f (u_{0}) = - (- 1)^{3} + (- 1) - 1 = - 1

f^{^{'}} (u_{0}) = - 3 (- 1)^{2} + 1 = - 2

u_{1} = - 1.5

Δ u_{1} = ∣ - 1.5 - (- 1) ∣ = 0.5

Δ u_{1} = 0.5

u_{2} = - 1.34782 \dots : Δ u_{2} = 0.15217 \dots

f (u_{1}) = - (- 1.5)^{3} + (- 1.5) - 1 = 0.875

f^{^{'}} (u_{1}) = - 3 (- 1.5)^{2} + 1 = - 5.75

u_{2} = - 1.34782 \dots

Δ u_{2} = ∣ - 1.34782 \dots - (- 1.5) ∣ = 0.15217 \dots

Δ u_{2} = 0.15217 \dots

u_{3} = - 1.32520 \dots : Δ u_{3} = 0.02262 \dots

f (u_{2}) = - (- 1.34782 \dots)^{3} + (- 1.34782 \dots) - 1 = 0.10068 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = - 3 (- 1.34782 \dots)^{2} + 1 = - 4.44990 \dots

u_{3} = - 1.32520 \dots

Δ u_{3} = ∣ - 1.32520 \dots - (- 1.34782 \dots) ∣ = 0.02262 \dots

Δ u_{3} = 0.02262 \dots

u_{4} = - 1.32471 \dots : Δ u_{4} = 0.00048 \dots

f (u_{3}) = - (- 1.32520 \dots)^{3} + (- 1.32520 \dots) - 1 = 0.00205 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = - 3 (- 1.32520 \dots)^{2} + 1 = - 4.26846 \dots

u_{4} = - 1.32471 \dots

Δ u_{4} = ∣ - 1.32471 \dots - (- 1.32520 \dots) ∣ = 0.00048 \dots

Δ u_{4} = 0.00048 \dots

u_{5} = - 1.32471 \dots : Δ u_{5} = 2.16754 E - 7

f (u_{4}) = - (- 1.32471 \dots)^{3} + (- 1.32471 \dots) - 1 = 9.24378 E - 7

f^{^{'}} (u_{4}) = - 3 (- 1.32471 \dots)^{2} + 1 = - 4.26463 \dots

u_{5} = - 1.32471 \dots

Δ u_{5} = ∣ - 1.32471 \dots - (- 1.32471 \dots) ∣ = 2.16754 E - 7

Δ u_{5} = 2.16754 E - 7

u \approx - 1.32471 \dots

Aplicar a divisão longa

Eq u a t i o n 0 : \frac{- u ^{3} + u - 1}{u + 1.32471 \dots} = - u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots

- u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots \approx 0

Encontrar uma solução para

- u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots = 0

utilizando o método de Newton-Raphson:

Sem solução para

u \in R

- u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots = 0

Definição de método de Newton-Raphson

f (u) = - u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots

Encontrar

f^{^{'}} (u) : - 2 u + 1.32471 \dots

\frac{d}{d u} (- u^{2} + 1.32471 \dots u - 0.75487 \dots)

Aplicar a regra da soma/diferença:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= - \frac{d}{d u} (u^{2}) + \frac{d}{d u} (1.32471 \dots u) - \frac{d}{d u} (0.75487 \dots)

\frac{d}{d u} (u^{2}) = 2 u

\frac{d}{d u} (u^{2})

Aplicar a regra da potência:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 u^{2 - 1}

Simplificar

= 2 u

\frac{d}{d u} (1.32471 \dots u) = 1.32471 \dots

\frac{d}{d u} (1.32471 \dots u)

Retirar a constante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 1.32471 \dots \frac{d u}{d u}

Aplicar a regra da derivação:

\frac{d u}{d u} = 1

= 1.32471 \dots \cdot 1

Simplificar

= 1.32471 \dots

\frac{d}{d u} (0.75487 \dots) = 0

\frac{d}{d u} (0.75487 \dots)

Derivada de uma constante:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= - 2 u + 1.32471 \dots - 0

Simplificar

= - 2 u + 1.32471 \dots

Seja

u_{0} = 1

Calcular

u_{n + 1}

até que

Δ u_{n + 1} < 0.000001

u_{1} = 0.36299 \dots : Δ u_{1} = 0.63700 \dots

f (u_{0}) = - 1^{2} + 1.32471 \dots \cdot 1 - 0.75487 \dots = - 0.43015 \dots

f^{^{'}} (u_{0}) = - 2 \cdot 1 + 1.32471 \dots = - 0.67528 \dots

u_{1} = 0.36299 \dots

Δ u_{1} = ∣ 0.36299 \dots - 1 ∣ = 0.63700 \dots

Δ u_{1} = 0.63700 \dots

u_{2} = 1.04072 \dots : Δ u_{2} = 0.67772 \dots

f (u_{1}) = - 0.36299 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 0.36299 \dots - 0.75487 \dots = - 0.40577 \dots

f^{^{'}} (u_{1}) = - 2 \cdot 0.36299 \dots + 1.32471 \dots = 0.59873 \dots

u_{2} = 1.04072 \dots

Δ u_{2} = ∣ 1.04072 \dots - 0.36299 \dots ∣ = 0.67772 \dots

Δ u_{2} = 0.67772 \dots

u_{3} = 0.43374 \dots : Δ u_{3} = 0.60697 \dots

f (u_{2}) = - 1.04072 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 1.04072 \dots - 0.75487 \dots = - 0.45931 \dots

f^{^{'}} (u_{2}) = - 2 \cdot 1.04072 \dots + 1.32471 \dots = - 0.75672 \dots

u_{3} = 0.43374 \dots

Δ u_{3} = ∣ 0.43374 \dots - 1.04072 \dots ∣ = 0.60697 \dots

Δ u_{3} = 0.60697 \dots

u_{4} = 1.23950 \dots : Δ u_{4} = 0.80576 \dots

f (u_{3}) = - 0.43374 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 0.43374 \dots - 0.75487 \dots = - 0.36842 \dots

f^{^{'}} (u_{3}) = - 2 \cdot 0.43374 \dots + 1.32471 \dots = 0.45723 \dots

u_{4} = 1.23950 \dots

Δ u_{4} = ∣ 1.23950 \dots - 0.43374 \dots ∣ = 0.80576 \dots

Δ u_{4} = 0.80576 \dots

u_{5} = 0.67703 \dots : Δ u_{5} = 0.56247 \dots

f (u_{4}) = - 1.23950 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 1.23950 \dots - 0.75487 \dots = - 0.64925 \dots

f^{^{'}} (u_{4}) = - 2 \cdot 1.23950 \dots + 1.32471 \dots = - 1.15429 \dots

u_{5} = 0.67703 \dots

Δ u_{5} = ∣ 0.67703 \dots - 1.23950 \dots ∣ = 0.56247 \dots

Δ u_{5} = 0.56247 \dots

u_{6} = - 10.09982 \dots : Δ u_{6} = 10.77686 \dots

f (u_{5}) = - 0.67703 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 0.67703 \dots - 0.75487 \dots = - 0.31637 \dots

f^{^{'}} (u_{5}) = - 2 \cdot 0.67703 \dots + 1.32471 \dots = - 0.02935 \dots

u_{6} = - 10.09982 \dots

Δ u_{6} = ∣ - 10.09982 \dots - 0.67703 \dots ∣ = 10.77686 \dots

Δ u_{6} = 10.77686 \dots

u_{7} = - 4.70404 \dots : Δ u_{7} = 5.39578 \dots

f (u_{6}) = - (- 10.09982 \dots)^{2} + 1.32471 \dots (- 10.09982 \dots) - 0.75487 \dots = - 116.14080 \dots

f^{^{'}} (u_{6}) = - 2 (- 10.09982 \dots) + 1.32471 \dots = 21.52437 \dots

u_{7} = - 4.70404 \dots

Δ u_{7} = ∣ - 4.70404 \dots - (- 10.09982 \dots) ∣ = 5.39578 \dots

Δ u_{7} = 5.39578 \dots

u_{8} = - 1.99138 \dots : Δ u_{8} = 2.71265 \dots

f (u_{7}) = - (- 4.70404 \dots)^{2} + 1.32471 \dots (- 4.70404 \dots) - 0.75487 \dots = - 29.11445 \dots

f^{^{'}} (u_{7}) = - 2 (- 4.70404 \dots) + 1.32471 \dots = 10.73280 \dots

u_{8} = - 1.99138 \dots

Δ u_{8} = ∣ - 1.99138 \dots - (- 4.70404 \dots) ∣ = 2.71265 \dots

Δ u_{8} = 2.71265 \dots

u_{9} = - 0.60494 \dots : Δ u_{9} = 1.38644 \dots

f (u_{8}) = - (- 1.99138 \dots)^{2} + 1.32471 \dots (- 1.99138 \dots) - 0.75487 \dots = - 7.35852 \dots

f^{^{'}} (u_{8}) = - 2 (- 1.99138 \dots) + 1.32471 \dots = 5.30749 \dots

u_{9} = - 0.60494 \dots

Δ u_{9} = ∣ - 0.60494 \dots - (- 1.99138 \dots) ∣ = 1.38644 \dots

Δ u_{9} = 1.38644 \dots

u_{10} = 0.15344 \dots : Δ u_{10} = 0.75838 \dots

f (u_{9}) = - (- 0.60494 \dots)^{2} + 1.32471 \dots (- 0.60494 \dots) - 0.75487 \dots = - 1.92221 \dots

f^{^{'}} (u_{9}) = - 2 (- 0.60494 \dots) + 1.32471 \dots = 2.53460 \dots

u_{10} = 0.15344 \dots

Δ u_{10} = ∣ 0.15344 \dots - (- 0.60494 \dots) ∣ = 0.75838 \dots

Δ u_{10} = 0.75838 \dots

u_{11} = 0.71852 \dots : Δ u_{11} = 0.56507 \dots

f (u_{10}) = - 0.15344 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 0.15344 \dots - 0.75487 \dots = - 0.57515 \dots

f^{^{'}} (u_{10}) = - 2 \cdot 0.15344 \dots + 1.32471 \dots = 1.01783 \dots

u_{11} = 0.71852 \dots

Δ u_{11} = ∣ 0.71852 \dots - 0.15344 \dots ∣ = 0.56507 \dots

Δ u_{11} = 0.56507 \dots

u_{12} = - 2.12427 \dots : Δ u_{12} = 2.84279 \dots

f (u_{11}) = - 0.71852 \dots^{2} + 1.32471 \dots \cdot 0.71852 \dots - 0.75487 \dots = - 0.31931 \dots

f^{^{'}} (u_{11}) = - 2 \cdot 0.71852 \dots + 1.32471 \dots = - 0.11232 \dots

u_{12} = - 2.12427 \dots

Δ u_{12} = ∣ - 2.12427 \dots - 0.71852 \dots ∣ = 2.84279 \dots

Δ u_{12} = 2.84279 \dots

Não se pode encontrar solução

A solução é

u \approx - 1.32471 \dots

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) \approx - 1.32471 \dots

sin (x) \approx - 1.32471 \dots

sin (x) = - 1.32471 \dots :

Sem solução

sin (x) = - 1.32471 \dots

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Gráfico

Exemplos populares

solvefor t,fw=2+cos(10pit)resolver para

t, f w = 2 + cos (10 π t)

tan(θ)-sec(θ)=sqrt(3)

tan (θ) - sec (θ) = 3

2csc(x)cot(x)= 4/3

2 csc (x) cot (x) = \frac{4}{3}

cos(t)= 24/25

cos (t) = \frac{24}{25}

sec^2(t)+2sec(t)=0

sec^{2} (t) + 2 sec (t) = 0