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人気のある微分積分 >

integral of (x+2)/(x^2+2x+3)

解

\int \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x + 3} d x

解

\frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

解答ステップ

\int \frac{x + 2}{x ^{2} + 2 x + 3} d x

平方完成する

x^{2} + 2 x + 3 : (x + 1)^{2} + 2

= \int \frac{x + 2}{( x + 1 ) ^{2} + 2} d x

u置換積分法を適用する

= \int \frac{u + 1}{u ^{2} + 2} d u

拡張

\frac{u + 1}{u ^{2} + 2} : \frac{u}{u ^{2} + 2} + \frac{1}{u ^{2} + 2}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{u}{u ^{2} + 2} d u + \int \frac{1}{u ^{2} + 2} d u

\int \frac{u}{u ^{2} + 2} d u = \frac{1}{2} ln u^{2} + 2

\int \frac{1}{u ^{2} + 2} d u = \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

= \frac{1}{2} ln u^{2} + 2 + \frac{1}{2} arctan (\frac{u}{2})

代用を戻す

u = x + 1

= \frac{1}{2} ln (x + 1)^{2} + 2 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 1}{2})

簡素化

\frac{1}{2} ln (x + 1)^{2} + 2 + \frac{1}{2} arctan (\frac{x + 1}{2}) : \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 1))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 x + 3 + \frac{1}{2} arctan (\frac{1}{2} (x + 1)) + C

グラフ

人気の例

integral of (e^x)/((e^x+1)^{13)}

\int \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{13}} d x

integral of (3x^{b-1})/(a+x^b)

\int \frac{3 x ^{b - 1}}{a + x ^{b}} d x

integral of ln(xe^x)

\int ln (x e^{x}) d x

integral of (x^2)/(sqrt(1-4x^2))

\int \frac{x ^{2}}{1 - 4 x ^{2}} d x

integral of (12x^{3/4}-9x^{5/3})

\int (12 x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{5}{3}}) d x