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Beliebt Trigonometrie >

3sin^2(θ)-6cos(θ)-3=-4cos(θ)

Lösung

3 sin^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 3 = - 4 cos (θ)

Lösung

θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

θ = 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 131.81031 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin^{2} (θ) - 6 cos (θ) - 3 = - 4 cos (θ)

Subtrahiere

- 4 cos (θ)

von beiden Seiten

3 sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 - 2 cos (θ) + 3 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 3 - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

- 3 - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ)) : - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

- 3 - 2 cos (θ) + 3 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

3 (1 - cos^{2} (θ)) : 3 - 3 cos^{2} (θ)

3 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 - 3 cos^{2} (θ)

= - 3 - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

Vereinfache

- 3 - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ) : - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

- 3 - 2 cos (θ) + 3 - 3 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) - 3 + 3

- 3 + 3 = 0

= - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

= - 3 cos^{2} (θ) - 2 cos (θ)

- 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 cos (θ) - 3 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 2 u - 3 u^{2} = 0

- 2 u - 3 u^{2} = 0 : u = - \frac{2}{3}, u = 0

- 2 u - 3 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 3 u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 3 u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 3, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 0}{2 ( - 3 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 3 ) \cdot 0}{2 ( - 3 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 3) \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 (- 3) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} + 0

2^{2} + 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 ( - 3 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 3 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 3 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 3 )} : - \frac{2}{3}

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2}{- 2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{4}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{2}{3}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 3 )} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 ( - 3 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2}{- 2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{0}{- 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{6}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2}{3}, u = 0

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{2}{3}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{2}{3}, cos (θ) = 0

cos (θ) = - \frac{2}{3} : θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{2}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{2}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2}{3}) + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2.30052 \dots + 2 πn, θ = - 2.30052 \dots + 2 πn, θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2-sin(x)=0

2 - sin (x) = 0

6tan^2(θ)-5tan(θ)+1=0

6 tan^{2} (θ) - 5 tan (θ) + 1 = 0

6sin(x)-24=0

6 sin (x) - 24 = 0

-2sin(x)-2sin(2x)=0

- 2 sin (x) - 2 sin (2 x) = 0

((sin^2(x)+1))/(1-sin^2(x))-1=2

\frac{( sin ^{2} ( x ) + 1 )}{1 - sin ^{2} ( x )} - 1 = 2