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Beliebt Trigonometrie >

cos(2θ)-sqrt(3)cos(θ)=0,0<= θ<2pi

Lösung

cos (2 θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Lösung

θ = 1.97810 \dots, θ = - 1.97810 \dots + 2 π

Grad

θ = 113.33731 \dots^{\circ}, θ = 246.66268 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) - 3 cos (θ) = 0, 0 \leq θ < 2 π

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (2 θ) - cos (θ) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1 - 3 cos (θ)

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 3 = 0

Löse mit Substitution

- 1 + 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 3 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0 : u = \frac{3 + 11}{4}, u = \frac{3 - 11}{4}

- 1 + 2 u^{2} - u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 11

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 3)^{2} = 3

(- 3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = (3)^{2}

= (3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 3 + 8

Addiere die Zahlen:

3 + 8 = 11

= 11

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 11}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2} : \frac{3 + 11}{4}

\frac{- ( - 3 ) + 11}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 11}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 + 11}{4}

u = \frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2} : \frac{3 - 11}{4}

\frac{- ( - 3 ) - 11}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 11}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 - 11}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3 + 11}{4}, u = \frac{3 - 11}{4}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{3 + 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}, 0 \leq θ < 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{3 - 11}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ < 2 π

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{3 - 11}{4}), θ = - arccos (\frac{3 - 11}{4}) + 2 π

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.97810 \dots, θ = - 1.97810 \dots + 2 π

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(θ)-7cos(θ)-4=0

2 cos^{2} (θ) - 7 cos (θ) - 4 = 0

sin(θ)= 3/10 ,sin(θ+pi/6)

sin (θ) = \frac{3}{10}, sin (θ + \frac{π}{6})

3sin^2(x)=8cos(x)

3 sin^{2} (x) = 8 cos (x)

7cos(x)-24sin(x)=10

7 cos (x) - 24 sin (x) = 10

4cos(2θ)+1=2cos(θ)

4 cos (2 θ) + 1 = 2 cos (θ)